Вероятность того, что изделие высшего качества равна 0,5. Найти вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества составит от 194 до 208.

Для решения данной задачи, мы можем применить биномиальное распределение.

Биномиальное распределение используется в задачах, где есть два возможных исхода (в данном случае изделие высшего качества или не высшего качества). Вероятность успеха (в данном случае изделие высшего качества) обозначается как p и равна 0,5.

Для нахождения вероятности того, что число изделий высшего качества составит от 194 до 208, мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией биномиального распределения. Для этого мы используем формулу Смирнова-Колмогорова:

P(194 <= X <= 208) = P(Z <= (208 - np) / sqrt(np(1-p))) - P(Z <= (194 - np) / sqrt(np(1-p)))

Где:
- X - число изделий высшего качества
- Z - стандартная нормальная величина
- n - количество испытаний (в данном случае 400)
- p - вероятность успеха (в данном случае 0,5)

Для нахождения значения P(Z <= x), мы можем воспользоваться таблицей значений нормального распределения или использовать калькулятор с функцией поиска значения функции нормального распределения.

Чтобы продолжить решение, мы должны вычислить значения (208 - np) / sqrt(np(1-p)) и (194 - np) / sqrt(np(1-p)).

Для начала, давайте найдем значение np:
np = 400 * 0,5 = 200

Затем найдем значение sqrt(np(1-p)):
sqrt(np(1-p)) = sqrt(200 * (1 - 0,5)) = sqrt(200 * 0,5) = sqrt(100) = 10

Теперь можем продолжить нахождение значений (208 - np) / sqrt(np(1-p)) и (194 - np) / sqrt(np(1-p)):
(208 - np) / sqrt(np(1-p)) = (208 - 200) / 10 = 8 / 10 = 0,8
(194 - np) / sqrt(np(1-p)) = (194 - 200) / 10 = (-6) / 10 = -0,6

Теперь, используя таблицу значений нормального распределения или калькулятор, найдем значения функции нормального распределения для 0,8 и -0,6:

P(Z <= 0,8) = 0,7881
P(Z <= -0,6) = 0,2743

Теперь мы можем найти искомую вероятность, используя формулу Смирнова-Колмогорова:

P(194 <= X <= 208) = P(Z <= 0,8) - P(Z <= -0,6) = 0,7881 - 0,2743 = 0,5138

Таким образом, вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества составит от 194 до 208, равна 0,5138 или округленно примерно 51,38%.