Векторы a,b,c имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор с, если вектор а=i+j, b=j+k

Для решения данной задачи нам необходимо найти вектор с, имеющий ту же длину, что и векторы а и b, а также образующий с ними попарно равные углы.

1. Для начала найдем длину векторов а и b. Для этого применим формулу длины вектора, которая определяется как корень из суммы квадратов его координат.

Длина вектора а:
|a| = sqrt(i^2 + j^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Длина вектора b:
|b| = sqrt (j^2 + k^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Таким образом, длины векторов а и b равны sqrt(2).

2. Зная длину векторов а и b, мы можем найти косинус угла между ними с помощью формулы косинуса угла между векторами.

cos(угла между а и b) = (а * b) / (|а| * |b|)

где а * b - скалярное произведение векторов а и b, а |а| и |b| - длины векторов а и b соответственно.

а * b = i * j + j * k = 1 * 0 + 0 * 1 = 0

cos(угла между а и b) = 0 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 0 / 2 = 0

Таким образом, cos(угла между а и b) = 0.

3. Мы знаем, что векторы а, b и с образуют попарно равные углы. Поскольку cos(угла между а и b) = 0, это означает, что cos(угла между а и с) = 0 и cos(угла между b и с) = 0.

Мы можем записать это следующим образом:

cos(угла между а и с) = (а * с) / (|а| * |с|) = 0 (уравнение 1)

cos(угла между b и с) = (b * с) / (|b| * |с|) = 0 (уравнение 2)

4. Давайте решим уравнение 1. Заменим в нем значения вектора а и вектора с на их координаты.

(i * x + j * y) / (sqrt(2) * sqrt(x^2 + y^2)) = 0

где x и y - координаты вектора с.

Мы выбрали координаты вектора с таким образом, чтобы его длина была равна sqrt(2) (такая же, как у векторов а и b).

(i * x + j * y) = 0 (уравнение 3)

5. Решим уравнение 3.

i * x + j * y = 0

является системой линейных уравнений.

Уравнение 1:
i * x + j * y = 0

6. Решим уравнение 1. Оно означает, что сумма координат вектора с равна нулю.

i * x + j * y = 0

1 * x + 1 * y = 0

x + y = 0

Отсюда следует, что x = -y.

Таким образом, координаты вектора с можно представить как с = (x, -x), где x - любое число.

Также мы знаем, что длина вектора с должна быть равна sqrt(2).

sqrt(x^2 + (-x)^2) = sqrt(2)

sqrt(x^2 + x^2) = sqrt(2)

sqrt(2 * x^2) = sqrt(2)

Отсюда следует, что x^2 = 1.

7. Найдем значение x.

x^2 = 1

x = 1 или x = -1

8. Итак, имеем две возможных координаты вектора с: (1, -1) или (-1, 1).

Таким образом, вектор с может быть c = (1, -1) или c = (-1, 1).

Вот и все, мы нашли вектор с, если векторы а и b имели длину равную sqrt(2) и образовывали попарно равные углы.