Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.

Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?

Для решения данной задачи нужно воспользоваться логикой и алгеброй. Давайте рассмотрим пошаговое решение:

1. Пусть V - количество задач, которое Вася решил в первый день. По условию Вася каждый следующий день решает на одну задачу больше, чем в предыдущий, поэтому во второй день он решит V + 1 задачу, в третий день - V + 2, и так далее.

2. Пусть P - количество задач, которое Петя решил в первый день. По условию Петя каждый следующий день решает на две задачи больше, чем в предыдущий, поэтому во второй день он решит P + 2 задачи, в третий день - P + 4, и так далее.

3. Важно отметить, что каждый из ребят решал задачи более 6 дней. Это значит, что число задач, которое они решали каждый день, должно быть больше 6.

4. По условию задачу решили все. Следовательно, общее количество задач в сборнике равно сумме всех решенных задач Васей и Петей.

5. Подставим значения в формулу суммы арифметической прогрессии для числа элементов, взятых k раз:

S = (a1 + ak)(k/2),

где S - сумма арифметической прогрессии, a1 - первый элемент, ak - последний элемент, k - количество элементов.

В нашем случае a1 = V, ak = V + 6(V + 6 - 1) = V + 6V + 36 - 6 = 7V + 30, k = 7.

Получаем формулу: V + (V + 1) + (V + 2) + ... + (7V + 30) = S,

где S - количество решенных задач.

6. Пусть a = V + (V + 1) + (V + 2) + ... + (7V + 30). Мы хотим найти наименьшее количество задач, поэтому будем искать наименьшее значение a.

7. Применим формулу суммы арифметической прогрессии и упростим выражение:

a = V + (V + 1) + (V + 2) + ... + (7V + 30)
= (1 + 2 + 3 + ... + 7)V + (1 + 2 + 3 + ... + 7) * 30
= 28V + 210.

8. Из условия задачи известно, что за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася. Поэтому количество задач, которые решил Петя, должно быть больше, чем количество задач, решенных Васей за эти 7 дней.

То есть (V + (V + 1) + (V + 2) + ... + (7V + 30)) + (P + (P + 2) + (P + 4) + ... + (7P + 30)) > (V + (V + 1) + (V + 2) + ... + (7V + 30)) + (V + (V + 1) + (V + 2) + ... + (7V + 30) + 14).

Упростим выражение:

28V + 210 + (2 + 4 + 6 + ... + 14P) > 28V + 210 + (30 + 33 + 36 + ... + 84) + 14
28V + 210 + 28P > 28V + 210 + 14*12 + 14
28P > 14*12 + 14
28P > 14(12 + 1)
P > (14(12 + 1))/28
P > 7.

Следовательно, количество задач, которое решил Петя, должно быть больше 7.

9. Мы знаем, что Петя решал задачи на две больше, чем Петя в предыдущий день. Значит, его решения должны быть четными числами.

10. Таким образом, ищем наименьшее значение V, при котором 28V + 210 делится на 2 и наименьшее значение P, при котором 28P + 210 делится на 14 и больше 7.

11. Найдем наименьшее значение V: подберем значения V, начиная с 1, пока 28V + 210 не станет четным числом:
- При V = 1: 28*1 + 210 = 238 (нечетное),
- При V = 2: 28*2 + 210 = 266 (четное).

Значит, наименьшее значение V = 2.

12. Найдем наименьшее значение P: подберем значения P, начиная с 8 (потому что оно должно быть больше 7), пока 28P + 210 не станет числом, которое делится на 14:
- При P = 8: 28*8 + 210 = 448 (делится на 14),
- При P = 9: 28*9 + 210 = 476 (делится на 14).

Значит, наименьшее значение P = 8.

13. Подставим найденные значения V = 2 и P = 8 в формулу для общего количества задач:

a = 28V + 210
a = 28*2 + 210
a = 56 + 210
a = 266.

Таким образом, наименьшее количество задач в сборнике равно 266.