Вариант 8
8.1 Дан параллелограмм ABCD: A(6; 3), B(-3; 6), C(-4; 1), D(5; - 2). Найти:
а) уравнение стороны DC и привести его к нормальному виду,
б) уравнение прямой L параллельной диагонали BD и проходящей через
вершину А;
в) уравнение высоты и медианы в ABAD опущенной из вершины А на
сторону DB;
г) длину высоты в ABAD опущенной из вершины А на сторону DB;
д) угол между прямыми DA и AB.
​

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые базовые знания о параллелограммах и координатах точек на плоскости. а) Для нахождения уравнения стороны DC, нужно использовать формулу нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки. В данном случае, две точки, через которые проходит сторона DC, это точки D(5; -2) и C(-4; 1). 1) Сначала найдем угловой коэффициент (a) этой стороны: a = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - (-2)) / (-4 - 5) = 3 / -9 = -1/3 2) Теперь можно использовать уравнение прямой вида y = ax + b, чтобы найти значение b (свободного члена): Подставим координаты одной из точек (например, C(-4; 1)): 1 = (-1/3) * (-4) + b 1 = 4/3 + b Теперь найдем b: b = 1 - 4/3 = 3/3 - 4/3 = -1/3 3) Итак, получаем уравнение стороны DC: y = (-1/3)x - 1/3 В нормальном виде это уравнение будет иметь вид: 3y + x + 1 = 0 б) Чтобы найти уравнение прямой L, параллельной диагонали BD и проходящей через точку А, нам понадобится знакомство с концепцией параллельных прямых. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой BD можно найти, используя точки B(-3; 6) и D(5; -2): a_bd = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 6) / (5 - (-3)) = -8 / 8 = -1 Таким образом, угловой коэффициент прямой BD равен -1. Угловой коэффициент прямой L также будет равен -1, так как она параллельна прямой BD. Используя точку A(6; 3), мы можем определить уравнение прямой L вида y = ax + b: 3 = (-1) * 6 + b 3 = -6 + b Теперь найдем b: b = 3 + 6 = 9 Итак, уравнение прямой L будет иметь вид: y = -x + 9 в) Чтобы найти уравнение высоты и медианы в ABAD, опущенной из вершины A на сторону DB, нам понадобится знание о перпендикулярных прямых. Перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, обратные друг другу и с противоположными знаками. 1) Найдем уравнение стороны DB (аддитивный обратный коэффициент углового коэффициента стороны DC): Угловой коэффициент стороны DC: -1/3 Аддитивный обратный коэффициент: -1 / (-1/3) = 3 Используя уравнение отрезка DB, мы можем записать его уравнение в нормальном виде: 3y + x + b_db = 0 2) Затем нужно найти точку пересечения стороны DB и прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне DB. Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений: y = 3x + b_db y = (-1/3)x + b_a Где b_a - свободный член уравнения, проходящего через вершину A и перпендикулярного DB. Используя координаты точки A(6; 3) и уравнение стороны DB (3y + x + b_db = 0), мы можем найти b_a: 3 = 3 * 6 + b_db 3 = 18 + b_db Теперь найдем b_db: b_db = 3 - 18 = -15 Теперь решим систему уравнений: 3x + (-15) = (-1/3)x + b_a Упростим уравнение: 3x + 15 = (-1/3)x + b_a Перенесем все переменные на одну сторону: 3x + (1/3)x = b_a - 15 10/3x = b_a - 15 x = (b_a - 15) * 3/10 Теперь, чтобы найти y, подставим значение x в одно из уравнений: y = 3x + (-15) = 3 * [(b_a - 15) * 3/10] - 15 = 9/10 * (b_a - 15) - 15 Итак, координаты точки пересечения это: (x; y) = [(b_a - 15) * 3/10; 9/10 * (b_a - 15) - 15] Но у нас неизвестное значение b_a, поэтому нам нужно более точно определить его. 3) Теперь рассмотрим уравнение прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной DB. Для этого воспользуемся знанием о том, что перпендикулярные прямые имеют обратные коэффициенты угловых коэффициентов и с противоположными знаками. Угловой коэффициент стороны DB: -1/3 Обратный коэффициент углового коэффициента: -3 Уравнение прямой, перпендикулярной DB и проходящей через вершину A, будет иметь вид: y = (-3)x + b_a 4) Теперь, чтобы определить значение b_a, подставим координаты точки A(6; 3): 3 = (-3) * 6 + b_a 3 = -18 + b_a Найдем b_a: b_a = 3 + 18 = 21 Итак, уравнение высоты и медианы в ABAD будет иметь вид: y = (-3)x + 21 г) Чтобы найти длину высоты в ABAD, опущенной из вершины A на сторону DB, нужно найти расстояние между точкой пересечения стороны DB и прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BD, и вершиной A. Мы уже знаем координаты точки пересечения: (x; y) = [(b_a - 15) * 3/10; 9/10 * (b_a - 15) - 15] А координаты вершины A: (6; 3) Теперь используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости: d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] Подставим значения: d = √[(6 - (b_a - 15) * 3/10)² + (3 - (9/10 * (b_a - 15) - 15)²] Упростим эту формулу: d = √[(6 - 3/10 * (b_a - 15))² + (3 - 9/10 * (b_a - 15) + 15)²] d = √[(6 - 3/10 * (b_a - 15))² + (18/10 * (b_a - 15) + 15)²] Таким образом, длина высоты в ABAD будет равна выражению: d = √[(6 - 3/10 * (b_a - 15))² + (18/10 * (b_a - 15) + 15)²] д) Угол между прямыми DA и AB можно найти, используя формулу: tg(α) = (k1 - k2) / (1 + k1 * k2), где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых DA и AB соответственно. Угловой коэффициент прямой DA можно найти, используя точки D(5; -2) и A(6; 3): k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - (-2)) / (6 - 5) = 5 / 1 = 5 Теперь найдем угловой коэффициент прямой AB, используя точки A(6; 3) и B(-3; 6): k2 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 3) / (-3 - 6) = 3 / -9 = -1/3 Теперь подставим значения в формулу: tg(α) = (5 - (-1/3)) / (1 + 5 * (-1/3)) tg(α) = (5 + 1/3) / (1 - 5/3) tg(α) = (15/3 + 1/3) / (3/3 - 5/3) tg(α) = (16/3) / (-2/3) tg(α) = -8 Итак, tg(α) = -8. Найдем угол α, используя обратную функцию тангенса: α = arctg(-8) Таким образом, угол между прямыми DA и AB равен arctg(-8).