Вариант №1

Решите тест:

1. Не существует призмы, у которой все грани …

1) ромбы;

2) прямоугольники;

3) треугольники.

2. 6 – это число …

1) вершин шестиугольной призмы;

2) рёбер треугольной призмы;

3) граней четырёхугольной призмы.

3. Какое утверждение неверное?

1) Боковые рёбра правильной призмы перпендикулярны плоскостям оснований.

2) Если боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскостям оснований, то она правильная.

3) В основании правильной призмы лежит правильный n- угольник.

4. Существует призма, которая имеет …

1) 13 рёбер; 2) 14 рёбер; 3) 15 рёбер.

5. Нельзя вычислить площадь боковой поверхности призмы по формуле …

1) Sбок = Pперпен. сеч · lбок. ребро ;

2) Sбок = Pосн. · lбок. ребро ;

3) Sбок = Pосн. · Н.

6. Какое утверждение верное?

1) Все рёбра правильной пирамиды равны.

2) Площадь поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

3) Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

7. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 60° , а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см.

1) 9 см2 ; 2) 10 см2 ; 3) другой ответ.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 60° . Найдите боковое ребро пирамиды.

1) 6 см; 2) 5√3/2 см; 3) 5 см.

9. Боковые рёбра пирамиды SABC равны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D лежит внутри ∆ ABC. ∆ ABC …

1) прямоугольный;

2) остроугольный;

3) тупоугольный.

10. Найдите площадь диагонального сечения правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, если её высота равна √2 см, а сторона основания 1 см и 4 см.

1) 10 см2 ; 2) 2,5 см2 ; 3) 5 см2 .

11. Не является правильным многогранником …

1) правильная призма;

2) правильный тетраэдр;

3) правильный октаэдр.

12. Гранью правильного многогранника не может быть правильный …

1) треугольник;

2) пятиугольник;

3) шестиугольник.

13. Сумма плоских углов при каждой вершине правильного додекаэдра равна …

1) 240°; 2) 300°; 3) 324°.

14. Не имеет центра симметрии правильный …

1) тетраэдр;

2) икосаэдр;

3) додекаэдр.

15. Угол между двумя диагоналями граней куба, выходящими из одной вершины, равен …

1) 90°; 2) 60°; 3) 45°.

Решите задачи:

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 8см и 15см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45о. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

2. Основанием прямоугольного параллелепипеда является ромб с диагоналями 7см и 24см, а высота параллелепипеда равна 7см. Найдите диагональ параллелепипеда.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8см, боковое ребро равно 6см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

4. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 13см, а одна из диагоналей равна 10см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7см.

5. Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и ее боковым ребром.

1. Не существует призмы, у которой все грани ромбы.
Ответ: Верно.
Обоснование: В призме боковые грани являются прямоугольниками или треугольниками, так как они образованы ребрами, соединяющими соответствующие вершины оснований. Ромбы могут быть основаниями призмы, но не боковыми гранями.

2. 6 – это число вершин шестиугольной призмы.
Ответ: Неверно.
Обоснование: Согласно формуле Эйлера, число вершин (V), граней (F) и рёбер (E) связаны следующим соотношением: V + F = E + 2. Для шестиугольной призмы, число вершин равно 8, а не 6.

3. Какое утверждение неверное?
Ответ: 3) В основании правильной призмы лежит правильный n-угольник.
Обоснование: Правильная призма имеет основания, которые являются правильными n-угольниками (где n - число сторон у основания, например, треугольник, четырехугольник и т.д.), а не основаниями, лежащими на правильном n-угольнике.

4. Существует призма, которая имеет 14 рёбер.
Ответ: Верно.
Обоснование: Количество рёбер (E) призмы связано с количеством вершин (V) и граней (F) следующим соотношением: E = V + F - 2. Если в призме граней (F) 6 и вершин (V) 8, то E = 8 + 6 - 2 = 12. Очевидно, что 14 ребер является возможным вариантом.

5. Нельзя вычислить площадь боковой поверхности призмы по формуле Sбок = Pосн. · Н.
Ответ: Неверно.
Обоснование: Формула для вычисления площади боковой поверхности призмы Sбок = Pосн. · lбок. ребро является верной формулой для вычисления площади боковой поверхности призмы. Формула Sбок = Pосн. · Н неверная, так как в этой формуле не учитывается длина бокового ребра.

6. Какое утверждение верное?
Ответ: 2) Площадь поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Обоснование: Площадь поверхности правильной пирамиды можно вычислить по формуле Sпов = Pосн. · Lп / 2, где Pосн. - периметр основания, Lп - длина бокового ребра (апофема). Формулы 1) и 3) являются неверными.

7. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 60° , а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см.
Ответ: 1) 9 см2.
Обоснование: Рассмотрим треугольник в основании пирамиды. Площадь этого треугольника равна (3 см * 6 см) / 2 = 9 см2. Поскольку все грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°, то боковые грани также являются равносторонними треугольниками. Площадь каждого бокового треугольника равна (сторона * апофема) / 2 = (3 см * 6 см * sin 60°) / 2 = 9 см2. Так как пирамида имеет 4 боковых грани, то общая площадь боковой поверхности равна 4 * 9 см2 = 36 см2.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.
Ответ: 3) 5 см.
Обоснование: В правильной четырехугольной пирамиде все грани являются равносторонними треугольниками. Плоский угол при вершине пирамиды равен 60°, что означает, что все внутренние углы треугольников равны 60°. Таким образом, все стороны треугольников равны, в том числе стороны основания, которая равна 5 см.

9. Боковые рёбра пирамиды SABC равны между собой. Точка D лежит внутри ∆ ABC. ∆ ABC ...
Ответ: 2) остроугольный.
Обоснование: Точка D лежит внутри треугольника ABC, а боковые ребра пирамиды SABC равны между собой. Это означает, что лучи, исходящие из вершины пирамиды S и проходящие через точку D, делят стороны треугольника ABC на равные отрезки. Таким образом, ∆ ABC является остроугольным треугольником.

10. Найдите площадь диагонального сечения правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, если её высота равна √2 см, а сторона основания 1 см и 4 см.
Ответ: 3) 5 см2 .
Обоснование: Площадь диагонального сечения правильной усеченной пирамиды можно вычислить по формуле Sсеч = (Pверх. + Pнижн. + √(Pверх. · Pнижн.)) / 2, где Pверх. и Pнижн. - периметры верхнего и нижнего оснований соответственно. В данном случае, Pверх. = 4 см + 4 см + √(4 см · 4 см) = 4 + 4 + 4 = 12 см; Pнижн. = 1 см + 1 см + √(1 см · 1 см) = 1 + 1 + 1 = 3 см. Подставляя значения в формулу, получаем Sсеч = (12 см + 3 см + √(12 см · 3 см)) / 2 = (15 см + √(36 см^2)) / 2 = (15 см + 6 см) / 2 = 21 см / 2 = 10,5 см2. Ответом из предложенных вариантов является 3) 10,5 см2, что округляется до 5 см2.

11.