Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 6 и на 8 получив в каждом из случаев некоторый остаток. сумма этих остатков равна 15. какой остаток даёт задуманное ваней число при делении на 12. решить по действиям.

Остаток равен 11

Пошаговое объяснение:

Пусть X задуманное натуральное число. Тогда по условию:

X = 4·k+a, X = 6·m+b, X = 8·n+c,

где k, m и n частные при делении (неотрицательные целые числа), a, b и c остатки от деления и поэтому a+b+c=15.

Но остаток от деления неотрицательное целое число и меньше делителя и поэтому: 0≤ a ≤3, 0≤ b ≤5, 0≤ c ≤ 7. Тогда 0≤ a + b + c ≤ 15 и поэтому равенство a+b+c=15 выполняется только при a = 3, b = 5, c =7.

Получили следующий вид задуманного натурального числа:

X = 4·k+3 = 6·m+5 = 8·n+7.

Представление X = 4·k+3 получается из представления

X = 8·n+7 = 4·(2·n)+4+3 = 4·(2·n+1)+3.

Поэтому достаточно рассмотреть X = 6·m+5 = 8·n+7. Последнее равенство представим в следующем виде:

6·m+5 = 8·n+7

6·(m+1)-1 = 8·(n+1)-1

6·(m+1) = 8·(n+1)

3·(m+1) = 4·(n+1)

m+1 = 4·(n+1)/3

m = 4·(n+1)/3-1

Так как m целое число, то из последнего равенства получаем, что (n+1) кратно 3, то есть n=2, 5, 8, Отсюда n = 3·t +2, где t неотрицательное целое число.

Подставим выражение n = 3·t +2 в представление задуманного натурального числа:

X = 8·n+7 = 8·(3·t +2)+7 =24·t +16+7= 24·t + 23.

Ясно, что 24 кратно 12, а при делении на 12 число 23 даёт остаток 11.

Отсюда заключаем, что для любого неотрицательного целого числа t задуманное натуральное число X = 24·t + 23 при делении на 12 даёт остаток 11.