В ящике 20 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди 12 наугад вынутых деталей бракованных будет в три раза больше, чем стандартных?

Давайте разберем этот вопрос пошагово.

Шаг 1: Определение общего количества возможных комбинаций
Сначала нам нужно определить общее количество возможных комбинаций, которые можно получить при выборе 12 деталей из ящика. Мы можем использовать формулу сочетаний:
C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)
где n - общее количество деталей, r - количество выбранных деталей.

В нашем случае, у нас есть 20 стандартных и 10 нестандартных деталей, то есть общее количество деталей n = 20 + 10 = 30. Мы хотим выбрать 12 деталей, поэтому r = 12. Подставим эти значения в формулу сочетаний:
C(30, 12) = 30! / (12!(30-12)!)

Шаг 2: Определение количества комбинаций с тройным количеством бракованных деталей
Теперь мы должны определить количество комбинаций, в которых бракованных деталей будет в три раза больше, чем стандартных.

Предположим, что мы выбрали k бракованных деталей (k/3 будет соответствовать количеству стандартных деталей). Тогда, чтобы получить количество комбинаций, нам нужно выбрать k бракованных деталей из 10 и (12 - k) стандартных деталей из 20.

Мы можем использовать формулу сочетаний для определения количества комбинаций:
C(10, k) * C(20, 12-k)

Нам нужно также учесть, что k должно быть кратным 3, чтобы бракованных деталей было в три раза больше.

Шаг 3: Определение вероятности
Чтобы найти вероятность того, что бракованных деталей будет в три раза больше, чем стандартных, мы делим количество комбинаций с тройным количеством бракованных деталей на общее количество возможных комбинаций:
P = (C(10, k) * C(20, 12-k)) / C(30, 12)

Давайте решим эту задачу, используя предположение, что k равно 3 (бракованных деталей в три раза больше, чем стандартных).

Шаг 4: Вычисление
Вычислим количество комбинаций с тройным количеством бракованных деталей:
C(10, 3) * C(20, 9) = (10! / (3!(10-3)!)) * (20! / (9!(20-9)!))

Давайте вычислим каждую часть по отдельности:

C(10, 3) = 10! / (3!(10-3)!)
= 10! / (3!7!)
= (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1)
= 120

C(20, 9) = 20! / (9!(20-9)!)
= 20! / (9!11!)
= (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12) / (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 167,960

Теперь вычислим общее количество возможных комбинаций:
C(30, 12) = 30! / (12!(30-12)!)
= 30! / (12!18!)
= (30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21 * 20 * 19) / (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 864,932,800

Теперь вычислим вероятность:
P = (C(10, 3) * C(20, 9)) / C(30, 12)
= (120 * 167,960) / 864,932,800
≈ 0.0000198

Итак, вероятность того, что среди 12 наугад вынутых деталей бракованных будет в три раза больше, чем стандартных, составляет примерно 0.0000198.