В треугольнике MNK известны длины сторон MN = 4 см, NK = 5 см, NP — биссектриса, а разность длин отрезков

Пошаговое объяснение:

Не зна

НП и ми — 1 см. Найдите длину стороны KM."
Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала нам нужно вспомнить, что биссектриса в треугольнике делит противоположный ей угол пополам. То есть, NP делит угол M посередине.

2. Так как NP является биссектрисой, мы можем использовать теорему биссектрисы, которая говорит, что отношение длин двух смежных сторон треугольника равно отношению длин соответствующих биссектрис. В данном случае, мы можем написать:

MN/NK = MP/PK

Подставляя известные значения, получаем:

4/5 = MP/PK

3. Мы знаем, что разность длин отрезков НП и МН является 1 см. То есть:

MP - PK = 1

Это важно помнить для последующих вычислений.

4. Теперь, чтобы найти длину стороны KM, нам нужно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника MKN. Теорема косинусов гласит:

KM^2 = MN^2 + NK^2 - 2 * MN * NK * cos(MKN)

Мы знаем значения MN и NK, но нам нужно найти угол MKN, чтобы вычислить значение косинуса.

5. Для вычисления угла МКН мы можем использовать теорему синусов. Эта теорема гласит:

NK/sin(MKN) = NP/sin(MKP)

Мы знаем значения NK и NP, и нам нужно найти значение угла МКН, чтобы вычислить синус.

6. Однако нам известно, что NP делит угол M пополам, а мы знаем еще одно отношение длин сторон MN и NK. Мы можем воспользоваться этими данными для вычисления значения синуса.

Мы ранее получили уравнение MN/NK = MP/PK.
Так как угол МКП и угол МНК - это вертикальные углы, они равны. Это позволяет нам записать:

MN/PK = MP/NK

Подставляя известные значения, получаем:

4/PK = MP/5

Мы можем переписать это уравнение в виде:

MP = (4/NK) * PK

7. Теперь мы знаем, что MN/PK = MP/NK и MP = (4/NK) * PK. Мы можем совместить эти уравнения:

MN/PK = (4/NK) * PK / NK

Преобразуем это уравнение, умножив обе стороны на NK * PK:

MN * NK = 4 * PK

И заменим PK на MP, используя предыдущее уравнение:

MN * NK = 4 * MP

Теперь мы можем заменить MN на 4 и NK на 5:

4 * 5 = 4 * MP

Решая это уравнение, получаем:

20 = 4 * MP

MP = 20/4 = 5

Таким образом, MP = 5.

8. Итак, мы знаем, что MP = 5. Нам теперь нужно найти KP, чтобы получить значение KM. Мы можем использовать предыдущее уравнение MP - PK = 1 и подставить значение MP = 5:

5 - PK = 1

Переносим PK на одну сторону уравнения:

PK = 5 - 1

PK = 4

Таким образом, PK = 4.

9. Теперь, когда мы знаем значения MP и PK, мы можем использовать исходную теорему косинусов:

KM^2 = MN^2 + NK^2 - 2 * MN * NK * cos(MKN)

Заменим значения MN и NK:

KM^2 = 4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * cos(MKN)

KM^2 = 16 + 25 - 40 * cos(MKN)

KM^2 = 41 - 40 * cos(MKN)

Нам остается вычислить cos(MKN), чтобы получить значение KM.

10. Мы знаем, что NK/sin(MKN) = NP/sin(MKP), а также что NK = 5 и NP = MP + PK = 5 + 4 = 9. Теперь мы можем записать уравнение с использованием известных значений:

5/sin(MKN) = 9/sin(MKP)

11. Но MKN и MKP - это вертикальные углы, они равны. Мы можем записать:

5/sin(MKN) = 9/sin(MKN)

12. Теперь мы можем решить это уравнение для sin(MKN):

sin(MKN) = 5 * sin(MKN) / 9

13. Упростив это уравнение, получаем:

9 * sin(MKN) = 5 * sin(MKN)

14. Таким образом, sin(MKN) = 0.

15. Косинус - это синус дополнительного угла, то есть cos(MKN) = cos(90-МКН). Так как sin(90-МКН) = cos(MКН), мы можем записать:

sin(MKN) = cos(MКН)

Таким образом, cos(MKN) = 0.

16. Теперь у нас есть значение cos(MKN) = 0. Мы можем подставить это значение в наше предыдущее уравнение для KM:

KM^2 = 41 - 40 * cos(MKN)

KM^2 = 41 - 40 * 0

KM^2 = 41 - 0

Следовательно, KM^2 = 41.

17. Чтобы найти KM, мы извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

KM = sqrt(41)

18. Таким образом, KM = sqrt(41) см.

Ответ: Длина стороны KM равна sqrt(41) см.