В треугольнике ABC со сторонами AB = 3×корень из 2 , BC = 5 и углом ABC , ра">

11/(sqrt(37)*sqrt(58)).

Пошаговое объяснение

Обозначим O - точка пересечения медиан AK и CL.

1.) Запишем теорему косинусов для треугольника ABK:

AK^2=AB^2+BK^2-2*AB*BK*cos(45)

AK^2=(3sqrt(2))^2+(5/2)^2-2*3sqrt(2)*(5/2)*(sqrt(2)/2)= 37/4 => AK=sqrt(37)/2

Поскольку медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, OK=1/3*AK=sqrt(37)/6.

2.) Аналогично находим LC и OC.

Теорема косинусов для треугольника BLC:

LC^2=BL^2+BC^2-2*BL*Bc*cos(45) = 29/2 => CL=sqrt(29/2)

При этом OC=(2/3)*CL=sqrt(58)/3 (медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины).

3.) Запишем теорему косинусов для треугольника СOK:

KC^2=OK^2+OC^2-2*OK*OC*cos(KOC)

Подставляя все найденное в это уравнение, находим cos:

сos(KOC)=11/(sqrt(37)*sqrt(58)) - искомый косинус. Угол же между медианами равен arccos(11/(sqrt(37)*sqrt(58))).

По теореме косинусов найдем квадрат АС, АС²=АВ²+СВ²-2сos°45=

18+25-2*3√2*5*√2/2=43-30=13

Т.к. CL- медиана, то  AL=3√2/2  AК -медиана, значит, СК=5/2, Зная три стороны ΔАОС, где О-точка пересечения медиан опять по теореме косинусов найдем угол АОС между диагоналями.

АС²=АО²+СО²-2АО*СО*сos°∠АОС; Найдем медианы,CL=(1/2)*√(2*13+2*5²-9*2)=(1/2)*√(26+50-18)=(1/2)*√(58)=(1/2)*√58, значит, CО=(2/3)*(1/2)*√58=√58/3

Медиана АК=0.5√(18*2+2*13-25)=0.5√(36+26-25)=0.5√37, АО=(2/3)*(05*√337)=√37/3, т.к. медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/3, начиная от вершины.

Подставим найденные значения в АС²=АО²+СО²-2АО*СО*сos°∠АОС, получим 13=58/9+37/9-2√37/3*√58/3сos°∠АОС;

13-95/9=-2*(√2146)/9)сos°∠АОС;

13*9-95=-2*(√2146))сos°∠АОС;

сos°∠АОС=(117-95)/(-2√2146)=-22/(2√2146)=-11/√2146≈

-11/46.324939288≈-0.2374530904

По результату видно, что угол тупой.