В страховом обществе застраховано 10 000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 1200 руб страховых, и в случае смерти его родственники получают от общества 100.000 руб. Найти вероятность того, что: а) общество потерпит убыток; б) получит прибыль, не меньшую 4.000.000 руб

Добрый день!

Для решения данной задачи нам потребуется использовать понятие математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Пусть X - случайная величина, равная выплате за каждый случай смерти. Так как в страховом обществе 10 000 застрахованных лиц, то X может принимать значения только 0 и 100 000 руб.

Вероятность того, что случится 0 смертей в течение года, будем обозначать p0, а вероятность случиться одна смерть будем обозначать p1. Так как количество возможных случаев смерти - только 0 и 1, то p0 + p1 = 1.

Построим таблицу возможных значений X и соответствующих вероятностей:

X | p_X
--------------
0 | p0
100 000 | p1

Из условия задачи известно, что вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006.

Зная, что количество застрахованных лиц - 10 000, мы можем найти вероятность p1: p1 = 10 000 * 0,006 = 60.

Теперь остается найти вероятность p0: p0 = 1 - p1 = 1 - 60 = 0,94.

Теперь мы можем рассчитать математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X) случайной величины X.

E(X) = X1 * p1 + X0 * p0,
где X1 - выплата при смерти (100 000), X0 - выплата при отсутствии смерти (0), p1 и p0 - соответствующие вероятности.

E(X) = 100 000 * 60 + 0 * 0,94 = 6 000 000 руб.

D(X) = E(X^2) - E^2(X),
где E(X^2) - математическое ожидание X^2, а E^2(X) - квадрат математического ожидания X.

E(X^2) = X1^2 * p1 + X0^2 * p0,
E(X^2) = 100 000^2 * 60 + 0^2 * 0,94 = 600 000 000 руб^2.

D(X) = E(X^2) - E^2(X),
D(X) = 600 000 000 - (6 000 000)^2 = 360 000 000 руб^2.

Теперь перейдем к решению задачи:

а) Чтобы найти вероятность того, что общество потерпит убыток, необходимо рассмотреть случаи выплаты при смерти для каждого застрахованного лица и посчитать суммарные выплаты. Общество будет потерпеть убытки, если суммарные выплаты превысят сумму собранных страховых взносов.

В нашем случае сумма собранных страховых взносов равна 10 000 * 1 200 = 12 000 000 руб.

Теперь нужно рассмотреть случаи выплаты за смерть каждого человека:
1) Если произойдет 0 случаев смерти, то выплаты будут равны 0 руб.
2) Если произойдет 1 случай смерти, то выплаты будут равны 100 000 руб.

Таким образом, общество потерпит убыток, если суммарные выплаты составят 100 000 руб.

Теперь найдем вероятность случая выплаты 100 000 руб при одном случае смерти:
p_100 000 = p1 = 60.

Тогда вероятность того, что общество потерпит убыток равна p_100 000 = 60/10 000 = 0,006.

б) Чтобы найти вероятность того, что общество получит прибыль, не меньшую 4 000 000 руб, нужно рассмотреть случаи суммарных выплат для каждого застрахованного лица и посчитать суммарные выплаты. Общество получит прибыль, если суммарные выплаты не превысят 4 000 000 руб.

Таким образом, нужно найти вероятность случая выплаты не более 4 000 000 руб.

Сумма собранных страховых взносов равна 12 000 000 руб.

Теперь будем рассматривать случаи выплаты за смерть каждого человека:
1) Если произойдет 0 случаев смерти, то выплаты будут равны 0 руб.
2) Если произойдет 1 случай смерти, то выплаты будут равны 100 000 руб.

Таким образом, общество будет получать прибыль, если суммарные выплаты не превышают 100 000 руб.

Теперь найдем вероятность случая выплаты не более 100 000 руб при одном случае смерти:
p_100 000 и p_0 совпадают и равны p0 = 0,94.

Тогда вероятность того, что общество получит прибыль, не меньшую 4 000 000 руб, равна p_100 000 = p0 = 0,94.

Окончательно получаем ответы на задачу:
а) Вероятность того, что общество потерпит убыток, равна 0,006.
б) Вероятность того, что общество получит прибыль, не меньшую 4 000 000 руб, равна 0,94.