В системе координат заданы три точки: A(4;3,6); B(5;3,6); C(4;12,6). Вычислить объём тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат.

Учитель:

Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, нам понадобится использовать метод цилиндрических оболочек.

Шаг 1: Исследование треугольника ABC
Прежде чем начать вычисления, необходимо визуализировать треугольник ABC и его проекцию на плоскость ОХУ. Для этого нужно построить график с указанными точками.

Согласно заданию, точки A, B и C имеют следующие координаты:
A(4;3,6)
B(5;3,6)
C(4;12,6)

Шаг 2: Построение цилиндрических оболочек
Для вычисления объема тела, вращающегося вокруг оси ординат, мы будем использовать цилиндрические оболочки. Цилиндрическая оболочка получается вращением некоторой кривой вокруг оси ординат и имеет радиус, равный расстоянию от этой кривой до оси ординат в каждой точке.

Для нахождения полного объема тела, мы разобьем треугольник ABC на малые вертикальные полоски и вычислим объем каждой полоски отдельно, а затем сложим результаты.

Шаг 3: Вычисление объема
Для начала, мы определим высоту цилиндрической оболочки в каждой точке. Поскольку мы вращаем треугольник вокруг оси ординат, высота цилиндрической оболочки в каждой точке будет равна расстоянию от этой точки до оси ординат.

Рассмотрим каждую точку треугольника ABC:

- Для точки A(4;3,6) высота цилиндрической оболочки равна 4.
- Для точки B(5;3,6) высота цилиндрической оболочки также равна 4.
- Для точки C(4;12,6) высота цилиндрической оболочки равна 4,6.

Теперь нам нужно вычислить радиус цилиндрической оболочки в каждой точке треугольника ABC. Радиус оболочки в каждой точке равен расстоянию от этой точки до оси ординат.

- Для точки A(4;3,6) радиус равен 3,6 (это значение уже известно, так как точка находится на оси ординат).
- Для точки B(5;3,6) радиус также равен 3,6.
- Для точки C(4;12,6) радиус равен 12,6.

Теперь мы можем вычислить объем каждой полоски. Объем полоски вычисляется по формуле Объем = площадь основы * высота.

Так как в нашем случае площадь основы полоски равна площади треугольника ABC, мы можем использовать формулу площади треугольника: Площадь = 0,5 * основание * высоту.

- Для точки A(4;3,6) основание равно 1 (расстояние между точками A и B).
Площадь основы = 0,5 * 1 * 4 = 2.
Объем полоски = 2 * 4 = 8.

- Для точки B(5;3,6) основание также равно 1.
Площадь основы = 0,5 * 1 * 4 = 2.
Объем полоски = 2 * 4 = 8.

- Для точки C(4;12,6) основание равно расстоянию между точками A и C, то есть 9.
Площадь основы = 0,5 * 9 * 4,6 = 20,7.
Объем полоски = 20,7 * 4,6 = 95,22.

Теперь мы можем сложить объемы всех полосок, чтобы получить полный объем тела:
8 + 8 + 95,22 = 111,22.

Ответ: Объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, равен 111,22 кубических единиц.