В штате фирмы работают 100 сотрудников, каждый из которых оказывается на рабочем месте в течении 80% всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени работает от 70 до 86 сотрудников?

Добрый день! Давайте решим задачу по порядку.

У нас есть 100 сотрудников, и каждый из них находится на рабочем месте в течение 80% всего рабочего времени. Это значит, что каждый сотрудник отсутствует на рабочем месте в течение 20% рабочего времени.

Мы можем использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности, так как вопрос связан с количеством сотрудников на рабочем месте в заданный момент времени.

Пусть X - количество работающих сотрудников в произвольно взятый момент времени. Мы хотим найти вероятность того, что 70 <= X <= 86.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением, которое описывает вероятность успеха в серии независимых испытаний.

Параметры биномиального распределения:
n - общее количество испытаний (в данном случае количество сотрудников, т.е. 100)
p - вероятность успеха в каждом испытании (в данном случае вероятность, что сотрудник находится на рабочем месте, т.е. 0.8)

Мы хотим найти вероятность того, что работает от 70 до 86 сотрудников. Это означает, что мы должны сложить вероятности для каждого значения от 70 до 86.

P(70 <= X <= 86) = P(X = 70) + P(X = 71) + ... + P(X = 86)

Теперь давайте рассчитаем вероятность P(X = k), где k - количество работающих сотрудников.

Для каждого k от 70 до 86:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k (n выбирается сотрудников из общего числа n)

Осталось только подставить значения в формулу и произвести вычисления.

P(X = 70) = C(100, 70) * 0.8^70 * 0.2^30
P(X = 71) = C(100, 71) * 0.8^71 * 0.2^29
...
P(X = 86) = C(100, 86) * 0.8^86 * 0.2^14

Затем сложите все полученные вероятности:

P(70 <= X <= 86) = P(X = 70) + P(X = 71) + ... + P(X = 86)

Обоснование:
Мы решаем данную задачу с использованием биномиального распределения, потому что мы знаем общее количество испытаний (количество сотрудников) и вероятность успеха в каждом испытании (вероятность, что сотрудник находится на рабочем месте). Мы также учитываем интервал значений, в котором нас интересует количество работающих сотрудников (от 70 до 86). Путем суммирования вероятностей для каждого значения в указанном интервале мы получаем ответ на задачу.

Пошаговое решение:
1. Вычислите вероятность P(X = k) для каждого значения от 70 до 86, используя формулу C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).
2. Просуммируйте все полученные вероятности, чтобы найти итоговую вероятность P(70 <= X <= 86).

Надеюсь, данное пошаговое решение и обоснование помогут вам понять задачу и решить ее. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.