В результате подстановки t=3x+2 интеграл dx/√3x+2

Привет! Конечно, я могу помочь с этим вопросом! Чтобы решить этот интеграл, мы сможем воспользоваться заменой переменной.

Для начала, давай поставим данное уравнение интеграла в более удобном виде:

∫ dx/√(3x + 2)

Теперь, чтобы заменить переменную, предположим, что t = 3x + 2. Посмотрим, как мы можем найти производную относительно x:

t = 3x + 2
dt/dx = 3

Теперь, чтобы выразить dx через dt, давайте решим это уравнение относительно dx:

dt/dx = 3
dx = dt/3

Теперь мы можем заменить dx и x в исходном уравнении интеграла:

∫ dx/√(3x + 2)
= ∫ (dt/3)/√t
= ∫ dt/(3√t)

Отлично! Теперь мы свели интеграл к интегралу относительно t, что гораздо проще. Чтобы продолжить, давайте вынесем 1/3 за знак интеграла:

(1/3) * ∫ dt/√t

Теперь, чтобы проинтегрировать это выражение, мы можем использовать степенное правило интегрирования для корня. Вероятно, тебе известно, что интеграл от √t равен (2/3) * t^(3/2).

Таким образом, мы можем записать окончательный ответ:

(1/3) * (2/3) * t^(3/2) + C

После подстановки значения t = 3x + 2, получим конечный ответ:

(1/3) * (2/3) * (3x + 2)^(3/2) + C

Это и есть окончательный ответ. Надеюсь, теперь тебе понятно, как мы пришли к этому решению! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!