В разложении (x+y)^6 найти коэффициент при x^2, y^4

Пошаговое объяснение:

(y+x)^6=((x+y)^2)^3=(x²+2xy+y²)^3 получаешь x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³+15x²y⁴+ 6xy⁵+y⁶

15 Кофф.

Для нахождения коэффициента при x^2, y^4 в разложении (x+y)^6, мы можем воспользоваться формулой Бинома Ньютона. Формула легко запоминается: (a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-2)a^2b^(n-2) + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n, где n - степень разложения, а C(n, k) - биномиальный коэффициент.

В нашем случае, n = 6, a = x, b = y. Мы хотим найти коэффициент при x^2, y^4, поэтому у нас должно быть x^2 и y^4 в разложении.

Давайте обратимся к формуле Бинома Ньютона и найдем нужный коэффициент.

C(6, 4)x^2 y^4 = C(6, 4) * x^2 * y^4

Теперь нам нужно найти биномиальный коэффициент C(6, 4). Биномиальный коэффициент C(n, k) вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n! - факториал числа n.

C(6, 4) = 6! / (4! * (6 - 4)!)

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
(6 - 4)! = 2! = 2 * 1 = 2

Теперь посчитаем:

C(6, 4) = 720 / (24 * 2) = 720 / 48 = 15

Подставим это значение обратно в формулу:

C(6, 4)x^2 y^4 = 15 * x^2 * y^4

Таким образом, коэффициент при x^2, y^4 в разложении (x+y)^6 равен 15.