В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?

В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AC и BC отметили точки D и E такие, что CD=2AD, BE=2CE. Обозначим точку пересечения отрезков AE и BD через F. Чему равен угол BFC?

Пошаговое объяснение:

1) Введем прямоугольную систему координат .Пусть АВ=ВС=АС=1. Пусть FC∩АВ=Р  .Пусть ЕК⊥АС, ВН⊥АС, РМ⊥АС.

2) Определим координаты точек .

А(0;0)  ,В( ; )  ,С(1;0)  ,Н(0,5 ;0)  ,D( ;0)  ,К( ;0)  , Е(

3)Найдем координаты направляющих векторов: DB( ; ) , РС( ; ).

4)Найдем скалярное произведение векторов .

DB *РС=   *  + *( ) = ⇒вектор DB⊥PC ⇒∠BFC=90°.

=======================================

Пояснения( жуткие вычисления , слабонервным можно не читать).

1) Координаты точки Е.   ΔКСЕ прямоугольный .

КЕ=СЕ*sin60= * .

КС=СЕ*cos60= = , поэтому АК= 1-   → Е( ; ) .

2)Координаты точки В.   ΔАВН- прямоугольный .

АН=НС= .

ВН=АВ*sin60=1* =

3)Ищем координаты точки Р

а)ΔВDC , по т. Менелая   ,     ,  .

б)ΔАВD , по т. Менелая   ,     ,  ,

AP= = .

в)ΔАРМ прямоугольный .

РМ=АР*sin60= * = .

АМ=АР*cos60= =    → P (   ; ) .