В равнобедренной трапеции OACB угол BOA = 60°, OB = ВС = CA = 2, M и N — середины сторон ВС и АС. Выразить векторы AC, OM, ON и MN через m и n — единичные векторы направлений ОА и OB.

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Рисуем равнобедренную трапецию OACB с углом BOA, равным 60°, и равными сторонами OB, ВС и CA, каждая из которых равна 2.

2. Обозначим медианы сторон ВС и АС как М и N соответственно. Медиана каждой стороны трапеции делит ее на две равные части.

3. Учитывая, что угол между медианой и соответствующей стороной равен 60°, мы можем заключить, что треугольники MON и MOB являются равносторонними треугольниками. Это происходит из свойств равнобедренной трапеции и равностороннего треугольника.

4. Теперь мы можем выразить векторы AC, OM, ON и MN через m и n – единичные векторы направления ОА и ОВ.

- Вектор AC: AC = AO + OC. Мы знаем, что ОС = OB, поэтому AC = AO + OB. Так как ОА и ОВ – единичные векторы, то они равны 1, поэтому AC = 1 * m + 1 * n = m + n.

- Вектор OM: OM = OA + AM. Мы знаем, что AM – это половина медианы ВС. Так как ОА – единичный вектор, то OA = m. АM = 0,5 * MS, где MS – это медиана ВС. Медианы ВС и ОВ имеют одинаковую длину, поэтому МS = OB = 2. Таким образом, АM = 0,5 * 2 = 1. Итак, OM = m + 1.

- Вектор ON: ON = OA + AN. Мы знаем, что AN – это половина медианы АС. Так как ОА – единичный вектор, то OA = m. AN = 0,5 * NS, где NS – медиана АС. Медианы АС и ОВ имеют одинаковую длину, поэтому NS = OB = 2. Таким образом, AN = 0,5 * 2 = 1. Итак, ON = m + 1.

- Вектор MN: MN = MO + ON. Мы уже выразили векторы MO и ON. МО = m + 1 и ON = m + 1. Таким образом, MN = (m + 1) + (m + 1) = 2m + 2.

Таким образом, мы выразили векторы AC, OM, ON и MN через m и n – единичные векторы направления ОА и ОВ.

AC = m + n,
OM = m + 1,
ON = m + 1,
MN = 2m + 2.