В прямоугольном треугольнике каждый катет равен 2+ корень из
8
Найдите радиус вписанной окружности.

Для решения этой задачи нам потребуются знания о прямоугольных треугольниках, а также о радиусе вписанной окружности.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. В таком треугольнике катеты соответственно обозначаются как a и b, а гипотенуза – как c.

Радиус вписанной окружности – это расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого каждый катет равен 2 + корень из 8. В общем виде его можно записать как a = b = 2 + корень из 8.

Для начала нам нужно найти значение гипотенузы треугольника. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.

Подставим значения катетов в формулу и решим ее: (2 + корень из 8)^2 + (2 + корень из 8)^2 = c^2.

Раскроем скобки: 4 + 4*корень из 8 + 8 + 4*корень из 8 + 8 = c^2.

Сгруппируем подобные слагаемые: 20 + 8*корень из 8 = c^2.

Теперь найдем значение гипотенузы: c = √(20 + 8*корень из 8).

Теперь мы можем перейти к нахождению радиуса вписанной окружности (r). В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности связан с полупериметром треугольника (p) и площадью треугольника (S) следующим образом: r = S/p.

Найдем полупериметр треугольника. Полупериметр (p) равен сумме всех сторон треугольника, деленной на 2: p = (a + b + c)/2.

Подставим значения катетов и гипотенузы: p = (2 + корень из 8 + 2 + корень из 8 + √(20 + 8*корень из 8))/2.

Упростим выражение: p = (4 + 2*корень из 8 + √(20 + 8*корень из 8))/2.

Далее, мы должны найти площадь треугольника (S). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов: S = (a*b)/2.

Подставим значения катетов: S = ((2 + корень из 8)*(2 + корень из 8))/2.

Раскроем скобки и упростим выражение: S = (4 + 4*корень из 8 + 8)/2.

Сгруппируем подобные слагаемые: S = (12 + 4*корень из 8)/2.

Упростим выражение: S = 6 + 2*корень из 8.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности: r = S/p.

Подставим значения площади и полупериметра: r = (6 + 2*корень из 8)/(4 + 2*корень из 8 + √(20 + 8*корень из 8))/2.

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на 2: r = (12 + 4*корень из 8)/(8 + 4*корень из 8 + 2√(20 + 8*корень из 8)).

Теперь мы получили выражение для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, где каждый катет равен 2 + корень из 8.