1. Математика
  2. в прямоугольном треугольнике

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угла ВАС, если НL//AC

malinka149 malinka149    1   30.08.2020 00:42    0

Ответы
Miki201717 Miki201717  15.10.2020 16:26

Пусть \angle BAC=\alpha, тогда \angle BAC=\angle BHL=\alpha как соответственные.

\angle CAL=\angle ALH как накрест лежащие при AC \parallel HL и секущей AL. Следовательно, \triangle AHL — равнобедренный, AH=HL.

\triangle CAH=\triangle HLB по катету и острому углу ⇒ AC=HB;~ BL=CH.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов:

HL^2=CL\cdot BL

По свойству биссектрисы : \dfrac{CL}{BL}=\dfrac{AC}{AB}. Тогда

HL^2=\dfrac{AC\cdot BL^2}{AB}~~\Rightarrow~~ \left(\dfrac{HL}{BL}\right)^2=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{HB}{AH+HB}\\ \\ \\ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{AH}{HB}+1}~~\Rightarrow~~{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{HL}{HB}+1}=\dfrac{1}{\cos \alpha +1}

Воспользуемся следующими тригонометрическими свойствами

{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}

\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\cos\alpha+1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos\alpha}=1~~\Rightarrow~~ \cos^2\alpha+\cos\alpha-1=0

Последнее уравнение решается как квадратное уравнение относительно \cos \alpha.

D=1+4=5

\cos \alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}

Значение \cos \alpha =\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} — постороннее, поскольку косинус принимает значения от -1 до 1.

ответ: \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.


в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угл
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Залму111 Залму111  15.06.2019 10:40
На карте от резок длиной 4см изображает дорогу длиной 10км. каким отрезком изобразится дорога длиной 25км?...
volegorex volegorex  15.06.2019 10:40
Который теперь час,если если оставшаяся часть суток в 2 раза меньше...
Тохо2004 Тохо2004  15.06.2019 10:40
Вчисле 1234567 записанном на доске.мальчик стер три цифры и получил число.кратное 8 и 9.какое число записано теперь на доске....
999Fox999 999Fox999  15.06.2019 10:40
2целых три четвёртых умножить на минус восемь...
Akmosh2003 Akmosh2003  15.06.2019 10:40
1. пять восьмых+ четвертая) 2. -три пятых +две вторых 3. пять шестнадцатых+ 3-тьех)...
olesm olesm  15.06.2019 10:40
Какую часть года составляет1 месяц,4месяца,6месяца,7месяцев,12месяцев...
АняМур123 АняМур123  15.06.2019 10:40
Сколько кг яблок было в корзине если осталось 9 кг а продали в 2 раза больше...
12345678298 12345678298  15.06.2019 10:40
Шоколадном наборе 15 одинаковых по виду конфет с тремя разными начинками ,поровну скаждой начинкой.какое наименьшее число конфет надо взять,чтобы быть уверенным ,что...
sasasara97ag sasasara97ag  15.06.2019 10:40
Площадь поля 160 га(гектаров),вспахали 3/8 этой площади.сколько га(гектаров) осталось спахать?...
366023 366023  15.06.2019 10:40
Вдвух стопках 54 тетради .сколько тетрадей в каждой стопке,если в первой стопе в 2 раза меньше тетрадей,чем во второй поразрядного нахождения результата деления!...

Популярные вопросы