В прямоугольном треугольнике ABC из вершины
прямого угла С проведена
высота CD. Найдите катет АС,
если DM I AC, DN IBC,
DM = 2 см, DN = 4 см.

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о прямоугольных треугольниках и их свойствах.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенузой является сторона AB, а катетами - сторона AC и сторона BC.

Из условия задачи дано, что высота CD является перпендикуляром к гипотенузе AB и точка пересечения высоты с гипотенузой обозначена буквой D. Также дано, что DM и DN являются проекциями высоты CD на стороны AC и BC соответственно, причем DM = 2 см и DN = 4 см.

Нам нужно найти значение катета AC.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы AB.
Используем теорему Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2

Шаг 2: Найдем площадь прямоугольного треугольника ABC.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:
Площадь = (1/2) * AB * CD

Шаг 3: Найдем площадь прямоугольного треугольника ADC.
Площадь прямоугольного треугольника ADC также можно найти, используя формулу:
Площадь = (1/2) * AC * DM

Шаг 4: Найдем площадь прямоугольного треугольника BDC.
Площадь прямоугольного треугольника BDC можно найти, используя формулу:
Площадь = (1/2) * BC * DN

Шаг 5: Запишем равенство площадей треугольников ADC и BDC.
Так как DM I AC и DN I BC, то площади треугольников ADC и BDC равны:
(1/2) * AC * DM = (1/2) * BC * DN

Шаг 6: Подставим известные значения и найдем катет AC.
Так как DN = 4 см и DM = 2 см, подставляем эти значения в равенство из шага 5:
(1/2) * AC * 2 = (1/2) * BC * 4

Шаг 7: Упростим выражение и найдем AC.
Раскроем скобки и сократим коэффициенты:
AC = BC * 2

Шаг 8: Найдем значение BC, используя площадь прямоугольного треугольника ABC.
Используем формулу для площади прямоугольного треугольника ABC:
Площадь = (1/2) * AB * CD

Шаг 9: Подставим известные значения и найдем BC.
Используем данные из условия задачи: DM = 2 см, DN = 4 см и CD = 6 см.
(1/2) * AB * 6 = (1/2) * 2 * 4
3 * AB = 8
AB = 8/3

Шаг 10: Подставим найденное значение AB в уравнение AC = BC * 2.
AC = (8/3) * 2
AC = 16/3

Таким образом, катет AC треугольника ABC равен 16/3 см или приближенно равен 5.33 см.

Ответ: Катет АС равен 16/3 см или приближенно 5.33 см.