В правильной треугольной пирамиде SABC, SO – апофема 12 см, а боковое
ребро SA=18 см. Найти объем пирамиды.

Для решения задачи нам понадобятся знания о правильных треугольных пирамидах и их объемах.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основание которой является правильным треугольником (все стороны и углы треугольника равны), а вершина пирамиды лежит на перпендикуляре, опущенном из центра основания.

Объем пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) * S * h, где V - объем пирамиды, S - площадь основания, а h - высота пирамиды (расстояние от вершины до основания).

В данной задаче известны две величины: апофема пирамиды SO и боковое ребро пирамиды SA. Найдем высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

В нашем случае треугольник SOA является прямоугольным, так как прямой угол есть угол OSA, треугольник SAB является прямоугольным, так как прямой угол есть угол ASB, и треугольник SBC является прямоугольным, так как прямой угол есть угол BSC.

Используя теорему Пифагора в треугольнике SOA, получим:
SA^2 = SO^2 + OA^2,
18^2 = 12^2 + OA^2,
324 = 144 + OA^2,
324 - 144 = OA^2,
180 = OA^2.

Таким образом, OA = √180 см.

Найденная ранее высота пирамиды SO равна высоте треугольника SOA, поскольку вершина пирамиды лежит на перпендикуляре, проведенном из центра основания. Следовательно, h = OA = √180 см.

Далее нам нужно найти площадь основания пирамиды SABC. В правильном треугольнике площадь можно найти по формуле: S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны основания.

В нашей задаче сторона основания равна SA = 18 см. Подставляем значение в формулу:

S = (18^2 * √3) / 4,
S = (324 * √3) / 4.

Теперь, когда у нас есть значение площади основания (S) и высоты пирамиды (h), можем найти объем пирамиды по формуле:

V = (1/3) * S * h,
V = (1/3) * [(324 * √3) / 4] * √180,
V = [(3 * 324 * √3 * √180) / 12] * (1/3),
V = (3 * 324 * √3 * √180) / (12 * 3),
V = (approx) 194.158 см³.

Таким образом, объем пирамиды равен примерно 194.158 см³.