В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 3,а боковое ребро равно 4. Найдите угол между прямой AD1 и плоскостью ABB1.

Прежде чем мы решим эту задачу, давайте напомним некоторые основные понятия и формулы, которые помогут нам.

1. Правильная шестиугольная призма - это призма, у которой основание является правильным шестиугольником, а каждая боковая грань - прямоугольный треугольник.

2. Угол между прямой и плоскостью - это угол между векторами, которые расположены на прямой и в плоскости, соответственно. Для нахождения такого угла, мы можем использовать следующую формулу: cos(угол) = (скалярное произведение вектора прямой и вектора плоскости) / (модуль вектора прямой * модуль вектора плоскости).

Теперь приступим к решению задачи.

Для начала, давайте найдем вектора прямой AD1 и плоскости ABB1.

Вектор прямой AD1: наши основания призмы ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 являются правильными шестиугольниками, поэтому каждая вершина A, D и F1 (а также B1 и C) лежит на единственной плоскости, проходящей через прямую AD1. Вектор AD1 будет направлен по прямой линии от вершины A к вершине D1, поэтому вектор AD1 можно записать в виде AD1 = D1 - A.

Вектор плоскости ABB1: так как плоскость ABB1 проходит через две вершины основания, она содержит их и оба вектора, начинающиеся в вершине A и направленные к вершинам B и B1. Поэтому вектор плоскости ABB1 можно записать в виде AB + AB1.

Теперь, когда у нас есть вектор прямой AD1 и вектор плоскости ABB1, мы можем рассчитать искомый угол между ними, используя формулу, описанную выше:

cos(угол) = (AD1 * (AB + AB1)) / (|AD1| * |AB + AB1|),

где * обозначает скалярное произведение векторов, | | обозначает модуль вектора.

Теперь осталось только подставить значения и рассчитать угол.
В нашем случае, сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 4, поэтому |AD1| = |D1 - A| = |4| = 4 и |AB| = |AB1| = 3.

Теперь мы можем рассчитать все необходимые значения, и найти искомый угол.

Надеюсь, что мое объяснение было достаточно понятным и поможет вам решить задачу. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать. Я всегда готов помочь!