В остроугольном треугольнике АВС медиана АМ равна высоте ВН, причем <МАВ=<НВА. Докажите, что ∆АВС-равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник АВС является равносторонним, мы должны показать, что все его стороны равны.

Предположим, что треугольник АВС не является равносторонним. Тогда хотя бы две его стороны должны быть различными.

Пусть сторона АВ имеет длину а, сторона ВС имеет длину b и сторона СА имеет длину с. Также пусть точка М делит сторону СА пополам, а точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины В.

Так как медиана АМ равна высоте ВН, то АМ=ВН. (1)

Также, из условия, у нас есть, что <МАВ=<НВА. (2)

Рассмотрим треугольник АВМ. Так как в нем медиана АМ является высотой, то этот треугольник является равнобедренным по теореме о равенстве боковых сторон. То есть, сторона АВ равна стороне АМ, следовательно, сторона АВ равна а. (3)

Рассмотрим треугольник АСВ. В этом треугольнике у нас угол А равен углу В, так как эти углы соответственные углы при пересечении параллельных прямых. То есть, угол А равен углу В. (4)

Теперь, посмотрим на треугольник АВЦ, который является общим для треугольников АВМ и АСВ. Используем угол А. У нас есть, что АМ=ВН (по условию) и у нас есть, что угол М равен углу Н (по условию).
Так как стороны ГВ и ГС общие для обоих треугольников и эти стороны соответственно равны, то треугольники АВМ и АСВ подобны по одной стороне и двум углам, что означает, что и пропорциональны и имеют такую же форму.

Теперь, поскольку треугольник АВМ равнобедренный по теореме, и все его углы равны (в том числе и угол М), треугольник АСВ также равнобедренный и все его углы равны.

Теперь мы знаем, что у треугольника АСВ две равные стороны (АВ и ВС), и углы А и В равны друг другу.

Но согласно аксиоме 7 (треугольник равнобедренный только тогда, когда у него две равные стороны и два равных угла), если треугольник АСВ равнобедренный, то он не может быть остроугольным, так как в остроугольном треугольнике все углы острые.

Таким образом, наше предположение о том, что треугольник АВС не является равносторонним, неверно. Треугольник АВС является равносторонним, имеющим равные стороны АВ, ВС и СА.