В левом нижнем углу доски 16х16 стоит шахматный король. Три игрока, Вася, Петя и Коля, по очереди делают им ходы по шахматным правилам. Начинает Вася. Игрок, который поставит короля на клетку, где он уже когда-либо был, проигрывает. Докажите, что Петя и Коля могут, объединившись, сделать так, чтобы Вася проиграл.

Докажем сперва, что доску размера 16 на 16 клеток с вырезанной угловой клеткой можно разрезать на уголки из трёх клеток. Действительно, саму клетку можно "огородить" таким уголком, далее уже полученный квадратик 2 на 2 клетки "огородить" новым уголком, состоящим из маленьких уголков (смотрите картинку), и так далее, делая с каждым разом уголки всё больше. Так как 16 - степень двойки, уголки поместятся.

Теперь посмотрим на пустой маленький уголок из трёх клеток. Любые две клетки такого уголка соединены ходом короля. Пусть Вася сходил в какую-то его клетку, тогда Петя и Коля могут своими ходами сходить в две оставшиеся клетки, так как уголок до этого был пустым (в него никто не ходил).

Стратегия: Петя и Коля своими ходами "закрывают" уголок, в который сходил Вася (каким угодно образом). Действительно, в начале все уголки "пустые", после же трёх ходов (Васи, Пети и Коли) по данной стратегии все уголки будут либо полностью "пустыми", либо полностью "полными". Так как количество уголков конечно, в какой-то момент Вася не сможет сделать ход (поставит короля на клетку, где он уже был) и проиграет.