В какой точке параболы x^2=9y абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината? (ответ: (9/4, 9/16). )

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти точку на параболе, в которой абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината.

Итак, у нас есть парабола с уравнением x^2 = 9y. Для того чтобы найти точку, в которой абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината, мы можем воспользоваться производными.

Начнем с нахождения производной функции x^2 = 9y по x. Для этого используем правило дифференцирования для степенной функции: производная функции x^n равна n * x^(n-1).

Производная функции x^2 равна 2x. Теперь мы можем найти производную от y по x. Разделим обе части уравнения x^2 = 9y на 9 и затем возьмем производную от обеих частей по x.

(x^2)/9 = y

(1/9) * (d/dx) (x^2) = (d/dx) (y)

(1/9) * 2x = (d/dx) (y)

(2/9) * x = (d/dx) (y)

Мы знаем, что абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината, поэтому мы можем выразить производную y через производную x:

(d/dx) (y) = 2 * (d/dx) (x)

(2/9) * x = 2 * 1

Теперь мы можем сократить 2 на обеих сторонах уравнения:

(2/9) * x = 2

Для того чтобы найти значение x, домножим обе части уравнения на 9/2:

x = 9/4

Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем найти значение y, подставив его в исходное уравнение:

x^2 = 9y

(9/4)^2 = 9y

81/16 = 9y

y = (81/16) * (1/9)

y = 9/16

Итак, точка, в которой абсцисса возрастает вдвое быстрее, чем ордината, имеет координаты (9/4, 9/16).