В деревне Мартышкино у каждого мальчика все знакомые с ним девочки знакомы между собой. У каждой девочки среди её знакомых мальчиков больше, чем девочек. Докажите, что в Мартышкино мальчиков живёт не меньше, чем девочек.
Очень Можете любое свое доказательство, но кажется, здесь надо действовать по индукции, только не знаю индукцию по какой величине

Добрый день! Давайте решим эту задачу с помощью индукции по количеству мальчиков. Пусть у нас есть деревня Мартышкино, где живут мальчики и девочки. Нам нужно доказать, что количество мальчиков не меньше, чем количество девочек.

Шаг базы: Для начала, рассмотрим самый простой случай, когда в Мартышкино есть только один мальчик и одна девочка. Ясно, что у девочки нет других знакомых мальчиков, так как их всего один. А у мальчика нет других знакомых девочек, так как их всего одна. Таким образом, количество мальчиков равно количеству девочек, что подтверждает наше утверждение.

Шаг индукции: Предположим, что для каждого n мальчиков в Мартышкино выполняется утверждение: количество мальчиков не меньше, чем количество девочек.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда у нас есть (n+1) мальчик в деревне Мартышкино. Обозначим этого мальчика как М. Рассмотрим два случая:

1. У М связей с девочками больше, чем с мальчиками:
Пусть у М есть k девочек, с которыми он знаком, и m мальчиков, с которыми он знаком (k > m). Согласно условию, каждая девочка знакома со всеми девочками, которые знакомы с М, и каждая из этих девочек знакома с большим количеством мальчиков, чем девочек. Давайте посчитаем, сколько всего мальчиков и девочек может быть в этом случае:
- Количество девочек, знакомых с М, нам неизвестно, но мы знаем, что каждая из них знакома с большим количеством мальчиков (не меньше, чем девочек). Пусть каждая девочка, знакомая с М, знакома с l мальчиками. Тогда общее количество мальчиков, знакомых с М, будет равно k * l.
- Количество девочек, знакомых с М, плюс М, составляют все девочки в Мартышкино, то есть (k + 1) девочек.
- Количество мальчиков в Мартышкино теперь составляет m + k * l (мальчики, с которыми знаком М, и мальчики, с которыми знакомы девочки, знакомые с М).

По условию задачи у каждой девочки количество мальчиков, с которыми она знакома, больше, чем девочек. Пусть каждая девочка знакома с r мальчиками. Тогда она будет знакома (r + 1) мальчиками. Всего количество мальчиков, знакомых с девочками, будет равно k * (r + 1).

Таким образом, общее число мальчиков в Мартышкино (m + k * l) + k * (r + 1) = m + k * (r + l) + k.

Нам нужно показать, что общее число мальчиков в Мартышкино больше или равно общему числу девочек ((k + 1) + (k * (r + 1))). То есть:

(m + k * (r + l) + k) >= (k + 1) + (k * (r + 1))

Для доказательства этого неравенства, разложим обе его части:
m + k * (r + l) + k >= k + 1 + k * r + k

Упростим его:
m + k * (r + l) + k >= k * (r + 1) + 1 + k

После упрощения мы видим, что левая часть неравенства больше или равна правой части. Таким образом, утверждение верно в этом случае.

2. У М связей с мальчиками больше, чем с девочками:
Этот случай очень похож на предыдущий. Мы можем повернуть наше рассуждение и вместо мальчиков рассматривать девочек, а вместо девочек - мальчиков. Таким образом, мы можем прийти к выводу, что количество мальчиков не меньше, чем количество девочек, и в этом случае.

Таким образом, по индукции мы доказали, что в деревне Мартышкино мальчиков живет не меньше, чем девочек.