В авиакомпании производится выборочное обследование трех возрастных групп пилотов на предмет выявления профессиональных заболевания. Численность групп соответственно равна 19, 16, 21, а вероятности заболевания каждого пилота из возрастной группы составляют соответственно 0,06, 0,11, 0,16. Первый обследуемый оказался здоровым. Какова вероятность того, что он принадлежит к 3 группе?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Обозначим события следующим образом:
А - первый обследуемый здоров
В - первый обследуемый принадлежит к 3 группе

Нам необходимо найти вероятность события В при условии, что произошло событие А, т.е. P(В|А).

Для начала найдем общую вероятность того, что первый обследуемый оказался здоровым. Это можно сделать по формуле полной вероятности:

P(А) = P(А|1) * P(1) + P(А|2) * P(2) + P(А|3) * P(3),

где P(k) - вероятность принадлежности первого обследуемого к группе k, а P(А|k) - вероятность того, что первый обследуемый здоров, при условии, что он принадлежит к группе k.

Из условия известно, что вероятности заболевания каждого пилота из возрастной группы составляют соответственно 0,06, 0,11, 0,16. Подставим эти значения в формулу полной вероятности:

P(А) = (1 - 0,06) * 19/56 + (1 - 0,11) * 16/56 + (1 - 0,16) * 21/56

Выполняя соответствующие вычисления, получим:

P(А) = 0,85

Теперь можем перейти к расчету искомой условной вероятности:

P(В|А) = P(В ∩ А) / P(А),

где P(В ∩ А) - вероятность одновременного наступления событий В и А.

P(В ∩ А) можно найти следующим образом:

P(В ∩ А) = P(А|В) * P(В),

где P(А|В) - вероятность того, что первый обследуемый здоров, при условии, что он принадлежит к 3 группе, а P(В) - вероятность принадлежности первого обследуемого к 3 группе.

Из условия известно, что численность трех возрастных групп пилотов составляют 19, 16 и 21. Таким образом, вероятность принадлежности первого обследуемого к 3 группе равна:

P(В) = 21 / (19 + 16 + 21) = 0,35

Вероятность того, что первый обследуемый здоров, при условии, что он принадлежит к 3 группе, в нашем случае равна 1, так как предполагается, что пилоты из 3 группы здоровы. Таким образом,

P(В ∩ А) = P(А|В) * P(В) = 1 * 0,35 = 0,35

Теперь мы можем найти искомую условную вероятность:

P(В|А) = P(В ∩ А) / P(А) = 0,35 / 0,85

Выполняя соответствующие вычисления, получим значение искомой вероятности:

P(В|А) ≈ 0,41

Таким образом, вероятность того, что первый обследуемый принадлежит к 3 группе при условии, что он оказался здоровым, составляет примерно 0,41 или 41%.