Утимура появились монеты в 1,2,3 и 5 тугриков, по одной каждого достоинства, которые, если они настоящие, весят соответственно 1,2,3 и 5г каждая. он узнал, что среди них есть ровно одна не настоящая, которая отличается весом от настоящей (но не известно, тяжелее она или легче). каким образом тимур сможет за два взвешивания на чашечных весах без гирь установить, какая из монет фальшивая?

Сначала нужно взвесить 1, 2 с одной стороны и 3 с другой (5 не трогаем): 
Если они все настоящие, то весы должны уравняться, а 5 можно считать фальшивой и, взвесив второй раз, положив 5 с одной стороны и 2, 3 с другой, узнать, тяжелее или легче фальшивая монета настоящих.
Если же какая-то чаша перевешивает, то на весах есть фальшивая монета (любая из 1, 2, 3), а 5 настоящая.
Взвешиваем второй раз: кладём 5 с одной стороны и 2, 3 с другой.
Если весы уравняются, то фальшивка - 1. Если нет - 2 или 3 фальшивая. Которая из них фальшивая, нужно судить уже по предыдущему взвешиванию: какая монета тяжелее/легче и там, и тут. Например, при первом взвешивании тяжелее оказалась чаша с 3, и здесь чаша с 3 тяжелее, значит, именно 3 - фальшивая, и она тяжелее обычной. Или если чаша с 3 была легче при первом взвешивании и снова легче при втором, она тоже фальшивая - но легче обычной. Та же ситуация с 2: была тяжелее при первом и тяжелее при втором - фальшивая, тяжелее обычной; была легче при первом и легче при втором - фальшивая, легче обычной.