Условие есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. сможет ли он это сделать?

Сможет.

Если Петя положит на чаши весов по 50 монет (распределит 100 оставшихся) и посмотрит на результат, то увидеть он может следующее:
Разность весов четная, либо разность весов нечетная. Попробуем интерпретировать этот результат.

Так как всего 50 фальшивых монет, а взяли мы одну монету, то среди оставшихся 50 или 49 фальшивых.

Если разность весов четная, то либо на обоих чашах нечетное число фальшивых монет, либо на обоих чашах четное число фальшивых монет (если на одной четное, а на другой нечетное, то разность будет нечетной. Других вариантов нет). Значит в сумме число фальшивых монет также четно, а значит равно 50 (49 - нечетное число. Как сказано ранее, фальшивых монет в сумме на обоих чашах либо 50, либо 49). А значит та монета, которую взял Петя настоящая.

Аналогично если разность весов нечетная, то на одной чаше нечетное количество фальшивых монет, а на другой четное. В сумме также нечетное, а значит в сумме 49. Отсюда та монета, которую взял Петя - фальшивая.

Тем самым мы показали, что определить фальшивая ли монета Петя может.