Урок 26 • Закрепление 3 Рассмотри множества. А = {И, Г, О, Л, K, A} C = {Г, О, Л} E = {M, O, T} В = {И, Г, Д, А} D = {Л, О. Г. И, К, А } Р= {T, O, M} а) Найди равные множества. Запиши при соответ- ствующего знака. 6) Какое множество является подмножеством множества А? Запиши при соответствующего знака. в) Какое множество является подмножеством множества D? Запиши при соответствующего знака. От

Понятие множества
Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий.
Теория множеств – это раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств.
Основатель научной теории множеств – немецкий математик
Георг Кантор.
Определение. Множеством называется совокупность, набор и т. д. однотипных элементов, воспринимаемых как единое целое.
Множества обозначают большими латинскими буквами. Например,
А = {Коля, Петя, Маша, Ира}, В = {1, 2, 7}, С = {1, 2, 3, 4, …, n, …}.
Все предметы, составляющие множества, называются элементами множества. Элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами. Например, если элемент х принадлежит множеству К, то пишут
хК, если элемент х не принадлежит множеству К, то пишут хК.
Есть множество, в котором нет ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают Ø.
Множество может быть конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным, если оно содержит бесконечно много элементов. Примером конечного множества может служить множество дней недели, примером бесконечного множества – множество натуральных чисел.
Из школьного курса вам известны примеры бесконечных числовых множеств – множеств натуральных(N), целых(Z), рациональных(Q), иррациональных(I) и действительных чисел (R).
Множество может быть задано:
• перечислением. Например, К = {2, 4, 20, 40};
• характеристическим свойством, т.е. свойством, характерным только для элементов этого множества. Например, .
Из элементов множества А = {Коля, Петя, Маша, Ира}, например, можно составить новое множество М = {Петя, Маша}. Оно характеризуется тем, что все элементы М принадлежат множеству А. Говорят, что М – подмножество множества А и пишут М А.
Множество М является подмножеством множества А, если всякий элемент множества М является элементом множества А и обозначают
МА.
Например, множество всех первокурсников является подмножеством множества всех студентов.

Для любого множества А справедливо:
1) Само множество является своим подмножеством, т.е. А А.
2) Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. Ø А.
Пример:
Сколько можно составить подмножеств множества В?
1. В = {0, 1}, тогда {0}В, {1}В, ØВ, {0, 1}В – четыре.
2. В = {1, 2, 3}, тогда {1}В, {2}В, {3}В, {1, 2}В, {1, 3}В,
{2, 3}В, ØВ, {1, 2, 3}В – восемь.
Можно доказать, что если в множестве n элементов, то оно имеет
2n подмножеств.
Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. А также множества А и В равны, если А В и В А.
Пусть А={2, 1, 3}, a В = {1, 2, 3} тогда А= В.

Примеры.
1) Пусть А – множество канцелярских товаров в аудитории, В –множество шариковых ручек в аудитории, тогда B ⊂ A.
2) Перечислим все подмножества множества A = {1; 2; 3}:
{1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}, ∅ .
Замечания.
1. Если A = B , то B A, A⊂ B.
2. Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅ ⊂ A.
3. Знак ⊂ можно ставить только между множествами: B ⊂ A,
∅ ⊂ A.
4. Знак ∈ можно ставить только между элементом множества и
самим множеством: a∈{a; b; c}.
Операции над множествами, их свойства
Пусть все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое назовём универсальным и обозначим буквой U. Для геометрической иллюстрации операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а остальные множества – в виде овалов, в частности кругов. Введём операции над множествами.