Упрастите выражение
(⁴√x-2⁴√y)•(⁴√x+2⁴√y)+2⁸√y⁷:⁸√y³

Чтобы упростить данное выражение, будем использовать правила работы с корнями и свойства степеней.

Данное выражение состоит из нескольких множителей, поэтому мы сначала должны упростить каждый множитель по отдельности, а затем объединить полученные результаты.

1. Рассмотрим первый множитель (⁴√x-2⁴√y).

Первое слагаемое, ⁴√x, является четвертым корнем из переменной x. Заметим, что при умножении двух одинаковых корней, мы можем применить правило перемножения степеней и получить корень из произведения оснований:

(⁴√x-2⁴√y) = ᵏ√x • x - ᵏ√y • y, где ᵏ√x - четвертый корень из x, а ᵏ√y - четвертый корень из y.

Второе слагаемое, 2⁴√y, также является четвертым корнем из y. Мы также можем записать это слагаемое в виде корня из произведения: 2⁴√y = 2 • ᵏ√y.

Теперь объединим полученные результаты: (⁴√x-2⁴√y) = ᵏ√x • x - 2 • ᵏ√y • y.

2. Рассмотрим второй множитель (⁴√x+2⁴√y).

Первое слагаемое, ⁴√x, остается без изменений.

Второе слагаемое, 2⁴√y, также остается без изменений.

Теперь можем записать второй множитель в виде суммы двух корней: (⁴√x+2⁴√y).

3. Рассмотрим третий множитель, 2⁸√y⁷:⁸√y³.

В данном случае есть возможность применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями и разделить экспоненты:

2⁸√y⁷:⁸√y³ = 2⁸√(y⁷/y³) = 2⁸√(y⁴) = 2 • ⁸√y⁴ = 2 • y.

Теперь у нас есть упрощенные множители, и мы можем перемножить их.

(⁴√x-2⁴√y)•(⁴√x+2⁴√y)+2⁸√y⁷:⁸√y³ = (ᵏ√x • x - 2 • ᵏ√y • y) • (⁴√x+2⁴√y) + 2 • y.

Произведение суммы и разности равно разности квадратов, поэтому раскроем скобки:

(ᵏ√x • x - 2 • ᵏ√y • y) • (⁴√x+2⁴√y) + 2 • y =
(ᵏ√x • x) • (⁴√x) + (ᵏ√x • x) • (2⁴√y) - (2 • ᵏ√y • y) • (⁴√x) - (2 • ᵏ√y • y) • (2⁴√y) + 2 • y.

Теперь объединим подобные слагаемые в этом выражении:

(ᵏ√x • x) • (⁴√x) + (ᵏ√x • x) • (2⁴√y) - (2 • ᵏ√y • y) • (⁴√x) - (2 • ᵏ√y • y) • (2⁴√y) + 2 • y =
x^(1/k) • x^(1/4) + x^(1/k) • (2 • y^(1/4)) - 2 • y^(1/k) • x^(1/4) - 2 • y^(1/k) • (2 • y^(1/4)) + 2 • y.

Таким образом, упрощенное выражение:
x^(1/k) • x^(1/4) + x^(1/k) • (2 • y^(1/4)) - 2 • y^(1/k) • x^(1/4) - 2 • y^(1/k) • (2 • y^(1/4)) + 2 • y.