Укажите наименьшее натуральное число a, при котором уравнение (a-2)x^2-(a^2-4a+3)x-a+2=0 (a не равно 2) имеет все свои корней на промежутке (-1; 3]

а = 4.

Пошаговое объяснение:

Определение: "Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …). Отрицательные и нецелые (рациональные и вещественные) числа к натуральным не относят".  Цитата: "Не существует единого для большинства математиков мнения о том, считать ли ноль натуральным числом или нет. В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят подход, при котором натуральный ряд чисел начинается с 1.

То есть a>0.

(a-2)x^2-(a^2-4a+3)x-a+2=0  при а = 1 примет вид:

- х^2 -(0)x +1 =0  или х^2 = 1.

Корни -1 и 1 не удовлетворяют условию, так как промежуток (-1;3]  (полуоткрытый) не включает значение -1.

При а = 3 уравнение примет вид:

х^2 -(0)x -1 =0  или х^2 = -1.  Корни уравнения комплексные.

При а = 4 уравнение примет вид:

2x^2-3x-2=0  

Корни -0,5 и 2  удовлетворяют условию, так как попадают в промежуток (-1;3]  

ответ: а = 4.