Укажите, какие утверждения являются истинными. Укажите один или несколько правильных вариантов ответа: Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника A B C , то радиус окружности, описанной около треугольника A H C , меньше радиуса окружности, описанной около треугольника A B C Сумма синусов двух углов треугольника больше синуса его третьего угла Сторона треугольника равна произведению радиуса описанной около этого треугольника окружности на синус противолежащего угла Хорда окружности равна произведению диаметра этой окружности и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной около этого треугольника окружности на синус противолежащего угла

Давай рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

1. Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, то радиус окружности, описанной около треугольника AHC, меньше радиуса окружности, описанной около треугольника ABC.

Для решения этого вопроса нам нужно знать некоторые свойства остроугольных треугольников и окружностей, описанных вокруг них.

Если H - точка пересечения высот oстроугольного треугольника, то она лежит на окружности, описанной около этого треугольника. При этом, радиус этой окружности равен произведению стороны треугольника, на которую опущена высота из вершины, на синус противолежащего угла. Также, окружность, описанная около треугольника ABC, будет иметь радиус, равный произведению стороны треугольника на синус одного из углов.

Исходя из этих свойств, можно заключить, что радиус окружности, описанной около треугольника AHC, будет меньше радиуса окружности, описанной около треугольника ABC. Поэтому утверждение является истинным.

2. Сумма синусов двух углов треугольника больше синуса его третьего угла.

Для решения этого вопроса мы можем воспользоваться тригонометрической формулой для синуса суммы двух углов:

sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB.

Если применим эту формулу к нашему случаю, где A, B и C являются углами треугольника, то мы получим следующее:

sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB = sin(C).

Получается, что сумма синусов двух углов треугольника равна синусу третьего угла. Таким образом, утверждение является истинным.

3. Сторона треугольника равна произведению радиуса описанной около этого треугольника окружности на синус противолежащего угла.

Для решения этого вопроса мы можем использовать те же свойства остроугольных треугольников и окружностей, описанных вокруг них.

Как было указано в первом утверждении, если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то она лежит на окружности, описанной около этого треугольника, и радиус этой окружности равен произведению стороны треугольника на синус противолежащего угла.

Следовательно, сторона треугольника равна произведению радиуса описанной около этого треугольника окружности на синус противолежащего угла. Утверждение является истинным.

4. Хорда окружности равна произведению диаметра этой окружности и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Для решения этого вопроса нам нужно знать некоторые свойства окружностей и вписанных углов.

Вписанный угол в окружности опирается на хорду, которая проходит через его вершину и противоположную дугу. Вписанный угол равен половине суммы мер дуг, его охватывающих.

Также, для окружности, диаметр которой равен d, хорда l и вписанный угол α, верно следующее:

l = d * sin(α).

Поэтому утверждение является истинным.

5. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной около этого треугольника окружности на синус противолежащего угла.

Это утверждение является неверным. Хотя оно похоже на предыдущее утверждение, есть разница в том, что первое утверждение говорит о стороне треугольника, а второе - о хорде окружности. Поэтому, ответить "да" на это утверждение нельзя.

Таким образом, истинными являются утверждения 1, 2, 3 и 4. Утверждение 5 является ложным.