Углы тупоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. меньшая сторона треугольника равна a. найти меньшую высоту треугольника

Углы равны A, A + d и A + 2d, их сумма в треугольнике равна 180
A + A + d + A + 2d = 3A + 3d = 180
A + d = 60 - это величина 2-го угла. А 3-ий угол A + 2d > 90 (тупой).
Значит, 1-ый угол b < 30. Например, A = 20; A + d = 60, A + 2d = 100.
Меньшая сторона против меньшего угла равна а. По теореме синусов
a/sin A = b/sin 60 = c/sin (A+2d)
В нашем случае
b = a*sin 60/sin A = a*sin 60/sin 20 ~ 2,532a
c =  a*sin(A+2d)/sin A = a*sin 100/sin 20 ~ 2,879a
Наименьшая высота h(c) выходит из тупого угла.
p = (a+b+c)/2 = (a+2,532a+2,879a)/2 = 6,411a/2 = 3,2055a
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[3,2055a*2,2055a*0,6735a*0,3265a] ~ 1,2468a
h(c) = 2S/c = 2*1,2468a/(2,879a) ~ 0,866 = √3/2
Как так получилось - я не понимаю.