Угадайте одно из решений уравнения задавшись определённым видом функции (в форме полинома по t) и вычислив затем коэффициенты.
y(t)=?

Чтобы найти решение уравнения, мы будем использовать метод разделения переменных. Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобной форме:
\[5t \frac{dy}{dt} + y = t^2\]

Теперь давайте предположим, что функция \(y(t)\) имеет вид полинома \(y(t) = a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_1 t + a_0\), где \(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\) - коэффициенты, которые мы должны найти.

Теперь найдем производные от функции \(y(t)\):
\[\frac{dy}{dt} = a_n n t^{n-1} + a_{n-1} (n-1) t^{n-2} + ... + a_1\]

Подставим найденные значения производных в исходное уравнение:
\[5t \left(a_n n t^{n-1} + a_{n-1} (n-1) t^{n-2} + ... + a_1 \right) + a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_1 t + a_0 = t^2\]

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(t\) на обеих сторонах уравнения.

Для степени \(t^n\):
\[5a_n n = 0 \Rightarrow a_n = 0\]

Для степени \(t^{n-1}\):
\[5a_{n-1} (n-1) + a_n = 0 \Rightarrow a_{n-1} = -\frac{a_n}{5(n-1)} = 0\]

Продолжая это рассуждение для всех степеней \(t\), мы получим систему уравнений, которую можно решить для каждого коэффициента \(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\).

В данном случае наше предположение о функции \(y(t)\) в форме полинома не сработало, потому что после подстановки в уравнение мы получили, что все коэффициенты равны нулю. Однако, это не означает, что решение не существует, мы просто выбрали неподходящую форму функции.

Чтобы найти другую форму решения, давайте предположим, что функция \(y(t)\) имеет вид \(y(t) = k \cdot \phi(t)\). Здесь \(k\) - некоторая константа, а \(\phi(t)\) - неизвестная функция, которую мы должны определить.

Теперь найдем производные от функции \(y(t)\):
\[\frac{dy}{dt} = k \cdot \frac{d\phi(t)}{dt}\]

Подставим найденные значения производных в исходное уравнение:
\[5t \left( k \cdot \frac{d\phi(t)}{dt} \right) + k \cdot \phi(t) = t^2\]

Перепишем уравнение, используя обозначение \(\phi'(t)\) для \(\frac{d\phi(t)}{dt}\):
\[5t k \phi'(t) + k \phi(t) = t^2\]

Теперь мы можем приступить к решению уравнения. Разделим обе части уравнения на \(k\) и приравняем коэффициенты при одинаковых производных по \(t\):

Для \(\phi'(t)\):
\[5t = 0 \Rightarrow \phi'(t) = 0\]

Теперь найдем \(\phi(t)\) из \(\phi'(t) = 0\). Это означает, что \(\phi(t)\) является постоянной функцией: \(\phi(t) = C\), где \(C\) - некоторая константа.

Вернемся к выражению для \(y(t)\):
\[y(t) = k \cdot \phi(t) = k \cdot C\]

Таким образом, решением уравнения является функция \(y(t) = k \cdot C\), где \(k\) и \(C\) - произвольные константы.

Обоснование решения:
Мы предположили, что функция \(y(t)\) имеет вид \(y(t) = k \cdot \phi(t)\), и затем нашли, что \(\phi(t)\) должна быть постоянной функцией. Это означает, что все значения функции \(y(t)\) в любой момент времени \(t\) должны быть одинаковыми и равными \(k \cdot C\), где \(C\) является постоянной.

Пошаговое решение:
1. Переписать уравнение в более удобной форме: \(5t \frac{dy}{dt} + y = t^2\)
2. Предположить, что функция \(y(t)\) имеет вид полинома \(y(t) = a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_1 t + a_0\) и вычислить производные от \(y(t)\).
3. Подставить значения производных в исходное уравнение и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(t\) на обеих сторонах уравнения.
4. Решить систему уравнений для коэффициентов \(a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0\).
5. Если предположение о функции в форме полинома не дало решения, предположить, что функция \(y(t)\) имеет вид \(y(t) = k \cdot \phi(t)\) и вычислить производные от \(y(t)\).
6. Подставить значения производных в исходное уравнение и приравнять коэффициенты при одинаковых производных по \(t\).
7. Найти решение для \(\phi(t)\) и вернуться к выражению для \(y(t)\) с использованием \(y(t) = k \cdot \phi(t)\).