У Вики есть 60 карточек с числами от 1 до 60. Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует так сделать?

Для решения этой задачи, нам нужно найти количество способов разбить 60 карточек на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре имела один и тот же модуль.

Давайте рассмотрим подход к решению этой задачи:

Шаг 1: Понимание модуля разности
Модуль разности двух чисел a и b обозначается как |a - b| и является положительным числом, равным разности a и b, независимо от их знаков. Например, модуль разности чисел -5 и 3 равен 8, так как |-5 - 3| = 8.

Шаг 2: Поиск возможных модулей разности
У нас есть 60 карточек с числами от 1 до 60. Максимальная разность между двумя числами равна 60 - 1 = 59. Значит, у нас может быть не более 59 различных модулей разности.

Шаг 3: Парные числа с одинаковыми модулями разности
Для каждого модуля разности от 1 до 59, нужно найти пары чисел, которые дают такой модуль разности.

Для примера, возьмем модуль разности 1. Чтобы получить модуль разности 1, нам нужно выбрать два числа, которые отличаются на 1. Всего у нас есть 59 пар чисел, удовлетворяющих этому условию:

(1, 2), (2, 3), (3, 4), ..., (58, 59), (59, 60).

Шаг 4: Равное количество пар для каждого модуля разности
Мы должны распределить все 60 карточек на пары с каждым модулем разности от 1 до 59. Вопрос заключается в том, сможем ли мы это сделать, чтобы количество пар для каждого модуля разности было одинаковым.

Для ответа на этот вопрос, нам нужно использовать концепцию четности и нечетности.

Шаг 5: Четность и нечетность чисел
Для модулей разности 1, 3, 5, ..., 59, мы можем заметить, что сумма двух чисел всегда будет иметь одну и ту же четность. Например, для модуля разности 1, сумма двух чисел всегда будет нечетной.

Это объясняется тем, что четное число плюс четное число всегда дают четное число, нечетное число плюс нечетное число всегда дают четное число, а четное число плюс нечетное число всегда дают нечетное число.

Шаг 6: Возможность разделения на пары
Теперь мы знаем, что сумма двух чисел для каждого модуля разности будет иметь одну и ту же четность. Значит, у нас может быть только две ситуации:

- Четное количество четных сумм и четное количество нечетных сумм.
- Четное количество четных сумм и нечетное количество нечетных сумм (или наоборот).

Шаг 7: Разделение на пары
Так как у нас 60 карточек, нам нужно разделить их на пары. В каждой паре у нас будет одна карточка с четной суммой и одна карточка с нечетной суммой. И так как количество четных сумм и количество нечетных сумм должны быть одинаковыми, нам нужно, чтобы количество карточек с четными суммами и количество карточек с нечетными суммами было одинаковым.

Шаг 8: Число способов
Чтобы найти количество способов разделить 60 карточек на пары, так чтобы разность чисел в каждой паре имела один и тот же модуль, мы должны разделить 60 на 2 и получить:

60 / 2 = 30.

Ответ: Существует 30 способов разбить 60 карточек на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности.