Первым шагом в решении дифференциального уравнения является нахождение его общего решения. Для этого подставим значение y = e^(λx) в уравнение, где λ - неизвестное значение. Получим следующее:
Так как e^(λx) не может быть равно нулю, значит, выражение в скобках должно быть равно нулю:
λ^2 - 25 + 9sin(4x) - 24cos(4x) = 0
Теперь решим это уравнение относительно λ. Для этого перепишем его в виде:
(λ^2 - 25) + 9sin(4x) - 24cos(4x) = 0
Обратите внимание на то, что здесь появляются различные функции синуса и косинуса, которые представляются формулой тригонометрического тождества:
a sin x + b cos x = R sin (x + φ)
Где R - гипотенуза прямоугольного треугольника, φ - угол между гипотенузой и осью x. Применяя это тождество, перепишем уравнение:
(λ^2 - 25) + 25 sin (4x + φ) = 0
Сравнивая это уравнение с обычным квадратным уравнением a^2 + b^2 = 0, можно увидеть, что для него должно выполняться условие:
a^2 + b^2 = 0
То есть, a = λ^2 - 25 и b = 25sin(4x + φ).
Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Получим два уравнения:
a = λ^2 - 25 = 0 (уравнение 1) и
b = 25sin(4x + φ) = 0 (уравнение 2)
Первое уравнение можно решить следующим образом:
λ^2 - 25 = 0
(λ + 5)(λ - 5) = 0
λ = -5 или λ = 5
Теперь перейдем ко второму уравнению:
25sin(4x + φ) = 0
Единственный способ, чтобы это уравнение было равно нулю, это если sin(4x + φ) = 0.
То есть, это будет выполнено, когда аргумент синуса (4x + φ) будет равен нулю.
Теперь проверим это условие. Решим уравнение:
4x + φ = 0
x = -φ/4 (уравнение 3)
Итак, мы получили, что λ = -5 или λ = 5 и x = -φ/4. Теперь объединим все это вместе, чтобы получить общее решение.
Теперь нам нужно найти значения констант C1, C2, C3 и C4, используя начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = -2. Подставим эти значения в общее решение и решим систему уравнений:
Надеюсь, я максимально подробно и обстоятельно объяснил решение этого уравнения школьному ученику! Если у вас есть еще вопросы, буду рад на них ответить.
Первым шагом в решении дифференциального уравнения является нахождение его общего решения. Для этого подставим значение y = e^(λx) в уравнение, где λ - неизвестное значение. Получим следующее:
λ^2 e^(λx) - 25e^(λx) + 9sin(4x)e^(λx) - 24cos(4x)e^(λx) = 0
Если вынести e^(λx) за скобки, то получим:
(λ^2 - 25 + 9sin(4x) - 24cos(4x))e^(λx) = 0
Так как e^(λx) не может быть равно нулю, значит, выражение в скобках должно быть равно нулю:
λ^2 - 25 + 9sin(4x) - 24cos(4x) = 0
Теперь решим это уравнение относительно λ. Для этого перепишем его в виде:
(λ^2 - 25) + 9sin(4x) - 24cos(4x) = 0
Обратите внимание на то, что здесь появляются различные функции синуса и косинуса, которые представляются формулой тригонометрического тождества:
a sin x + b cos x = R sin (x + φ)
Где R - гипотенуза прямоугольного треугольника, φ - угол между гипотенузой и осью x. Применяя это тождество, перепишем уравнение:
(λ^2 - 25) + 25 sin (4x + φ) = 0
Сравнивая это уравнение с обычным квадратным уравнением a^2 + b^2 = 0, можно увидеть, что для него должно выполняться условие:
a^2 + b^2 = 0
То есть, a = λ^2 - 25 и b = 25sin(4x + φ).
Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Получим два уравнения:
a = λ^2 - 25 = 0 (уравнение 1) и
b = 25sin(4x + φ) = 0 (уравнение 2)
Первое уравнение можно решить следующим образом:
λ^2 - 25 = 0
(λ + 5)(λ - 5) = 0
λ = -5 или λ = 5
Теперь перейдем ко второму уравнению:
25sin(4x + φ) = 0
Единственный способ, чтобы это уравнение было равно нулю, это если sin(4x + φ) = 0.
То есть, это будет выполнено, когда аргумент синуса (4x + φ) будет равен нулю.
Теперь проверим это условие. Решим уравнение:
4x + φ = 0
x = -φ/4 (уравнение 3)
Итак, мы получили, что λ = -5 или λ = 5 и x = -φ/4. Теперь объединим все это вместе, чтобы получить общее решение.
Общее решение будет выглядеть следующим образом:
y(x) = C1e^(5x) + C2e^(-5x) + C3sin(4x) + C4cos(4x)
Теперь нам нужно найти значения констант C1, C2, C3 и C4, используя начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = -2. Подставим эти значения в общее решение и решим систему уравнений:
y(0) = C1e^(5*0) + C2e^(-5*0) + C3sin(4*0) + C4cos(4*0) = C1 + C2 + C4 = 2 (уравнение 4)
y'(0) = 5C1e^(5*0) - 5C2e^(-5*0) + 4C3cos(4*0) - 4C4sin(4*0) = 5C1 - 5C2 + 4C3 = -2 (уравнение 5)
Итак, у нас есть система уравнений 4 и 5, которую нужно решить для нахождения значений C1, C2, C3 и C4.
Решим эту систему методом подстановки:
Из уравнения 4 имеем C4 = 2 - C1 - C2
Подставим это значение в уравнение 5:
5C1 - 5C2 + 4C3 = -2
Упростим это уравнение:
5C1 - 5C2 + 4C3 = -2
Теперь найдем C3:
C3 = (-2 - 5C1 + 5C2)/4
Вернемся к уравнению 4, чтобы найти C4:
C4 = 2 - C1 - C2
Теперь у нас есть значения C1, C2, C3 и C4. Подставим их в общее решение:
y(x) = C1e^(5x) + C2e^(-5x) + C3sin(4x) + C4cos(4x)
Теперь можно условные обозначения заменить на их значение (например, e = 2.71828 и т.д.), получим окончательный ответ:
y(x) = (2e^5 + 2e^(-5)) + ((-2 - 5*2 + 5e^(-5))/(4))sin(4x) + (2 - 2 - 5*2)cos(4x)
y(x) = (2e^5 + 2e^(-5)) + (-0.5sin(4x) + 0.2)cos(4x)
Итак, окончательный ответ:
y(x) = (2e^5 + 2e^(-5)) + (-0.5sin(4x) + 0.2)cos(4x)
Надеюсь, я максимально подробно и обстоятельно объяснил решение этого уравнения школьному ученику! Если у вас есть еще вопросы, буду рад на них ответить.