Трое задумали по двузначному числу. затем каждые два сыграли в такую игру они сравнили первые цифры своих чисел, и тот у кого цифра больше давая другому столько щелчков, на сколько больше его цифра , затем проделали тоже со вторыми цифрами. могло ли так случиться, что всего они сделали 19 щелчков?

Рассмотрим ситуацию между двумя мальчиками. Пусть один задумал двузначное число, которое состоит из цифр A и B, а у другого число состоит из цифр C и D. Найдём разницу (A-C) и (B-D), которая определяет сколько щелчков один даст другому. Кто кому сколько - это неважно. Важно, что надо просуммировать все щелчки:
(A-C) + (B-D) = (A+B) - (C+D)
Оказывается, сумма щелчков равна разнице между суммой цифр чисел, задуманных двумя мальчиками. Поэтому, рассматривая только суммы цифр чисел, задачу можно упростить, фактически перейдя к рассмотрению только неких задуманных чисел.

Начнём рассматривать ситуацию с тремя мальчиками. Возможны 4 варианта:

1) Все три мальчика (М1, М2 и М3) задумали Нечётное число (Н);
Найдём разницу (М1-М2) = Чётное (Ч), (М2-М3) = Чётное (Ч) и (М3-М1) = Чётное (Ч). Т.е. все три разницы будут чётными числами, сумма которых число тоже чётное.

2) Все три мальчика задумали Чётное число (Ч);
Находим разницу (М1-М2) = Ч, (М2-М3) = Ч и (М3-М1) = Ч. Все три разницы являются чётными числами, значит их сумма тоже число чётное. Кстати, порядок вычитания неважен, считайте, что все разницы берутся по модулю.

3) Два мальчика задумали Чётное число (Ч), один - Нечётное (Н);
Для определённости считаем, что Чёт у первых двух, т.к нет никакого различия, откуда начнём считать
(М1-М2) = Ч - Ч = Ч; (М2-М3) = Ч - Н = Н; (М3-М1) = Н - Ч = Н
Суммируем, Ч + Н + Н = Ч
Опять, число чётное.

4) Два мальчика задумали Нечётное число (Н), один - Чётное (Ч);
Рассуждаем аналогично, опять пусть у первых двух мальчиков Нечет.
(М1-М2) = Н - Н = Ч; (М2-М3) = Н - Ч = Н; (М3-М1) = Ч - Н = Н
Суммируем, Ч + Н + Н = Ч
Вновь сумма чётная.

Т.к. при любых задуманных числа, в итоге получается число Чётное, то никак не получится так, чтобы мальчике в сумме дали друг другу 19 щелчков.

ответ: Нет, не могло так случиться