Три кузнечика играют на прямой в чехарду. каждый
раз один из них прыгает через другого (но не через
могут ли они после 2019 прыжков оказаться
на прежних местах? (нужно решить с теории графов)

Добрый день, ученик!

Для решения этой задачи воспользуемся теорией графов. Представим наших кузнечиков в виде вершин графа, а каждый прыжок - ребром между соответствующими вершинами.

Изначально у нас есть три кузнечика, и мы стартуем с графа, где у каждого кузнечика есть соответствующая вершина. После каждого прыжка будет происходить перестановка кузнечиков. Нам нужно определить, можно ли после 2019 прыжков оказаться на прежних местах.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо понять, как меняются позиции кузнечиков после каждого прыжка. Для этого построим граф, который отражает все возможные перестановки кузнечиков.

Пронумеруем кузнечиков от 1 до 3. Возможны всего 3!=6 перестановок (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Построим граф для всех этих перестановок:

```
(1, 2, 3) - (1, 3, 2) - (2, 1, 3) - (2, 3, 1)
| |
└----- (3, 1, 2)

(3, 2, 1)
```
Будем обозначать вершины графа перестановками. Ребрами будем соединять те перестановки, между которыми можно совершить один прыжок. Таким образом, каждый ребро будет соединять две перестановки, отличающиеся местами двух кузнечиков.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы понять, можно ли после 2019 прыжков вернуться на исходные места, то есть сделать 2019 прыжков в графе и вернуться в исходную вершину.

Мы можем заметить, что каждое ребро графа соединяет две вершины. Если выходить из одной вершины, то возвращение назад возможно только по другому ребру. Более того, мы можем заметить, что из любой вершины мы можем выйти только по одному ребру.

Теперь рассмотрим, что происходит после прохождения ребра в графе. Мы переходим из одной вершины в другую, и наша цель - сделать 2019 прыжков и вернуться на исходные места.

Вопрос: сможет ли какое-то число прыжков от одной перестановки вернуться в эту же перестановку?

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть две перестановки: (1, 2, 3) и (2, 1, 3). В графе они находятся на расстоянии одного ребра, так как можно сделать один прыжок, чтобы перейти из одной перестановки в другую. Однако, если мы начнем с одной перестановки, сделаем один прыжок и вернемся обратно, мы не сможем вернуться в исходную перестановку с ходов.

Поэтому, каждая вершина в нашем графе имеет только одно исходящее ребро и одно входящее ребро.

Теперь рассмотрим граф, который мы построили для всех возможных перестановок. Мы начинаем с исходной перестановки (1, 2, 3) и делаем прыжки вперед. В результате мы можем попасть только в одну перестановку, а именно (2, 1, 3). Дальше мы можем сделать еще 2017 прыжков, но при этом мы всегда будем перемещаться по единственному пути вперед.

То есть, мы просто будем выполнять цикл, и каждый раз перемещаться по графу вперед, пока не завершим 2019 прыжков.

Итак, после 2019 прыжков кузнечики не смогут вернуться на исходные места, так как существует только одна перестановка, доступная после исходной, и далее мы можем перемещаться только вперед по этому единственному пути.

Надеюсь, ответ был понятен и объяснение оказалось полным и подробным. Если у тебя возникнут еще вопросы или понадобится дополнительное объяснение, буду рад помочь!