Трехзначное число делится на 9 без остатка. когда это число поделили на 9, то в частном получили новое число, в котором сумма цифр на 9 меньше суммы цифр исходного числа. сколько трехзначных чисел имеют такое свойство?

Что бы число  делилось на 9 необходимо,
             что бы сумма его цифр делилось на 9.

Значит сумма цифр трехзначного числа равна 18.
Так как максимальное 27 может быть у 999, но его частное 111 не подходит.
А если сумма цифр равна 9 то вряд ли сумма цифр его частного 9-9=0 (нуль).

Значит сумма цифр частного равна 18-9=9.
Есть следующие варианты

         18*9=162 (Сумма цифр 1+6+2=9) - Не подходит
         27*9=243 (Сумма цифр 9)              - Не подходит
         36*9=324 (Сумма цифр 9)              - Не подходит
         45*9=405 (Сумма цифр 9)              - Не подходит   
         54*9=486 (Сумма цифр 18)              - Подходит
         63*9=567 (Сумма цифр 18)              - Подходит
         72*9=648 (Сумма цифр 18)              - Подходит
         81*9=729 (Сумма цифр 18)              - Подходит
         90*9=810 (Сумма цифр 9)              -Не подходит
         108*9=972 (Сумма цифр 18)              - Подходит
         117=1053             перебор              - Не подходит

ответ:     486,567,648,729, 972.