Точки d и e делят стороны треугольника abc в отношении ad: dc=3: 1 и ce: be=2: 3. найдите площадь треугольника abm, где m - точка пересечения прямых ae и bd, если площадь треугольника abe равна 6

Проще всего эта задача делается с теоремы Менелая, но неохота ее приводить. Поэтому сделаем мы ее с теоремы о пропорциональных отрезках, она то входит в школьную программу и ее можно не объяснять. Идея такая: у треугольников ABM и ABE совпадают высоты, опущенные из вершины B. Поэтому для нахождения площади 
ΔABM нужно узнать, какую часть отрезка AE составляет отрезок AM. Займемся этим. 

Проведем прямую через E параллельно BD до пересечения с AC в точке F. По теореме о пропорциональных отрезках DF:FC=BE:EC=3:2.
Итак, в DF 3 части отрезка DC, а в FC 2 части. То есть мы как бы разделили DC на 5 частей и взяли для DC 3 части. Далее, AD в три раза длиннее DC, значит в 15 раз длиннее каждой из 5 маленьких частей DC. Поэтому в AD 15 маленьких частей, в DC 3 маленькие части. Значит, AD:DC=15:3=5:1. По теореме о пропорциональных отрезках AM:ME=5:1, то есть в AM 5 частей, а в ME 1 часть. А тогда в AE 6 частей. Значит, чтобы из площади ABE получить площадь ABM, нужно площадь ABE разделить на 6 и умножить на 5. 

ответ: 5