Точки А(0; √8; √8), В(√8; √8; 0), С(√8; 0; √8) и Е(√8; √8;√8) являются вершинами тетраэдра АВСЕ. Докажите, что данный тетраэдр правильный.

kattikat555 kattikat555    2   19.11.2020 13:31    212

Ответы
KolbasaBatonSir KolbasaBatonSir  16.01.2024 00:52
Для того чтобы доказать, что данный тетраэдр является правильным, нам нужно проверить, что все его грани и все его углы равны.

Для начала, давайте найдем длины всех сторон тетраэдра. Мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2).

Для грани AB, путь между точками А и В, мы можем записать следующее:

d_AB = √((√8 - 0)^2 + (√8 - √8)^2 + (0 - √8)^2) = √((8 - 0) + (0) + (0 - 8)) = √0 = 0.

Таким образом, длина грани AB равна 0.

Аналогично, длина грани BC равна:

d_BC = √((√8 - √8)^2 + (0 - √8)^2 + (√8 - 0)^2) = √((0) + (8 - 8) + (8 - 0)) = √0 = 0.

Длина грани BC также равна 0.

Теперь давайте найдем длину грани AC:

d_AC = √((√8 - 0)^2 + (0 - (√8))^2 + (√8 - √8)^2) = √((8 - 0) + (0 - 8) + (0)) = √0 = 0.

Длина грани AC также равна 0.

Теперь посмотрим на грань AE:

d_AE = √((√8 - 0)^2 + (√8 - √8)^2 + (√8 - √8)^2) = √((8 - 0) + (0) + (0)) = √8.

Таким образом, длина грани AE равна √8.

Наконец, длина грани BE равна:

d_BE = √((√8 - (√8))^2 + (√8 - √8)^2 + (0 - √8)^2) = √((0) + (0) + (8 - 8)) = √0 = 0.

Длина грани BE также равна 0.

Итак, мы видим, что грани AB, BC, и AC имеют длину 0, а грани AE и BE имеют длину √8.

Теперь мы можем проверить равенство углов тетраэдра. Для этого нам понадобятся формулы для вычисления угла между двумя векторами:

cos(θ) = A • B / (|A| * |B|),

где A и B - векторы, • - скалярное произведение, |A| и |B| - длины векторов.

Вычислим углы ABC, BCA и CAB. Для этого найдем векторы AB, BC и AC:

AB = B - A = (√8 - 0; √8 - √8; 0 - √8) = (√8; 0; -√8),
BC = C - B = (√8 - √8; 0 - √8; √8 - 0) = (0; -√8; √8),
AC = C - A = (√8 - 0; 0 - √8; √8 - √8) = (√8; -√8; 0).

Теперь вычислим скалярное произведение для каждой пары векторов:

AB • BC = (√8 * 0) + (0 * -√8) + (-√8 * √8) = 0 - 0 + (-8) = -8,
BC • AC = (0 * √8) + (-√8 * -√8) + (√8 * 0) = 0 + 8 + 0 = 8,
AC • AB = (√8 * √8) + (-√8 * 0) + (0 * -√8) = 8 - 0 - 0 = 8.

Подставим эти значения в формулу для нахождения угла:

cos(θ) = A • B / (|A| * |B|).

Угол ABC:

cos(ABC) = (-8) / (√8 * 0) = -8 / 0,

Угол BCA:

cos(BCA) = 8 / (0 * √8) = 8 / 0,

Угол CAB:

cos(CAB) = 8 / (√8 * √8) = 8 / 8 = 1.

Итак, угол ABC и угол BCA являются неопределенными, так как мы получили деление на 0. Однако, угол CAB равен 1, что является корректным значением.

Итак, чтобы закончить доказательство, нам нужно сравнить все найденные длины и углы с эталонными значениями для правильного тетраэдра.

В правильном тетраэдре все его грани должны быть равными между собой, и все его углы должны быть равными друг другу.

Мы видим, что длина грани AB, BC и AC равна 0, что соответствует требованию. Но длина грани AE равна √8, что не является равной длине других граней.

Таким образом, тетраэдр АВСЕ не является правильным, так как не все его грани равны.

Это доказывает, что данный тетраэдр не является правильным.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика