Точка m середина диагонали AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. При каком значении k справедливо равенство A1B1(вектор)+AD(вектор)+CM(вектор)=k×AC1(вектор)?

Добро пожаловать в класс математики! Рассмотрим данную задачу шаг за шагом, чтобы разобраться, как найти значение k.

Шаг 1: Вначале нам необходимо разобраться, какие векторы мы имеем и что они представляют. В данной задаче у нас есть несколько векторов:

- AB1, который является направленным от точки A к точке B1.
- AD, который является направленным от точки A к точке D.
- CM, который является направленным от точки C к точке M.
- AC1, который является направленным от точки A к точке C1.

Шаг 2: Далее, давайте разберемся с тем, что означают точки, упоминавшиеся в векторах:
- A и B1 являются вершинами основания ABCDA1B1C1D1 параллелепипеда.
- C и C1 являются вершинами противоположного основания ABCDA1B1C1D1 параллелепипеда.
- M является точкой, которая является серединой диагонали AC1 параллелепипеда.

Шаг 3: Теперь мы можем записать равенство A1B1(вектор) + AD(вектор) + CM(вектор) = k × AC1(вектор) в координатной форме. Для этого у нас есть два варианта:

1) Воспользуемся определением векторов. Если A(x1, y1, z1), B1(x2, y2, z2), D(x3, y3, z3), C(x4, y4, z4), C1(x5, y5, z5) и M(x6, y6, z6), то мы можем записать каждый вектор в виде разности координат:
A1B1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
AD = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)
CM = (x6 - x4, y6 - y4, z6 - z4)
AC1 = (x5 - x1, y5 - y1, z5 - z1)

Подставим эти значения в равенство и получим:
(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) + (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) + (x6 - x4, y6 - y4, z6 - z4) = k × (x5 - x1, y5 - y1, z5 - z1)

Затем, разложим полученное равенство по осям x, y, z:
x2 - x1 + x3 - x1 + x6 - x4 = k × (x5 - x1)
y2 - y1 + y3 - y1 + y6 - y4 = k × (y5 - y1)
z2 - z1 + z3 - z1 + z6 - z4 = k × (z5 - z1)

Теперь вы можете решить получившуюся систему уравнений для определения значений координат точек и k.

2) Разложим вектора по базису (координатные оси). Для этого предположим, что базисом являются векторы i, j и k. Зная координаты точек A, B1, D, C, C1 и M, мы можем записать вектора в базисе:
A1B1 = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k
AD = (x3 - x1)i + (y3 - y1)j + (z3 - z1)k
CM = (x6 - x4)i + (y6 - y4)j + (z6 - z4)k
AC1 = (x5 - x1)i + (y5 - y1)j + (z5 - z1)k

Затем, подставим эти значения в равенство и получим:
[(x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k] + [(x3 - x1)i + (y3 - y1)j + (z3 - z1)k] + [(x6 - x4)i + (y6 - y4)j + (z6 - z4)k] = k × [(x5 - x1)i + (y5 - y1)j + (z5 - z1)k]

Затем, соберем коэффициенты при каждой из букв (i, j, k):
(x2 - x1 + x3 - x1 + x6 - x4)i + (y2 - y1 + y3 - y1 + y6 - y4)j + (z2 - z1 + z3 - z1 + z6 - z4)k = k × (x5 - x1)i + k × (y5 - y1)j + k × (z5 - z1)k

Путем сравнения коэффициентов при каждой из букв, мы можем получить систему уравнений и решить ее для определения значений координат точек и k.

Надеюсь, эта подробная методика поможет вам понять и решить данную задачу. Удачи!