Точка движется прямолинейно по закону s(t)=10t+t^2-1/3t^3. найдите максимальную скорость движения Vmax

Скорость - это производная от функции расстояния, т.е.

v(t) = S'(t) = (-3t^3+3t^2+9t+3)'=\\
=-9t^2+6t+9

Максимум функции скорости будет достигнут при t=1/3

v'(t) = -18t+6=0\\
t=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}

Значение скорости в этой точке

v(\frac{1}{3})=-9*\frac{1}{9}+6*\frac{1}{3}+9=-1+2+9 = 10

Пошаговое объяснение:

Хорошо, для решения данной задачи найдем производную функции s(t) по времени t, так как скорость - это изменение положения точки по времени.

s'(t) = d(s(t))/dt = d(10t + t^2 - 1/3t^3)/dt

Применяем правило дифференцирования:

s'(t) = 10 + 2t - t^2

Теперь найдем значения t, при которых скорость равна нулю. Это будут точки, где скорость меняет направление или, другими словами, когда точка достигает максимальной скорости или минимальной скорости.

Для этого приравняем производную s'(t) к нулю и решим полученное уравнение:

10 + 2t - t^2 = 0

Разложим это уравнение на множители:

(2t - 5)(t + 3) = 0

Теперь решим уравнение:

2t - 5 = 0 или t + 3 = 0

2t = 5 или t = -3

Решив каждое уравнения относительно t, получаем два значения:

t1 = 5/2 и t2 = -3

Чтобы определить, является ли найденная точка максимальной или минимальной скоростью, нужно найти вторую производную функции s(t) и подставить найденные значения t:

s''(t) = d^2(s(t))/dt^2 = d/dt(10 + 2t - t^2)

Применяем правило дифференцирования:

s''(t) = 2 - 2t

Теперь подставляем значения t1 = 5/2 и t2 = -3:

s''(5/2) = 2 - 2 * 5/2 = 2 - 5 = -3
s''(-3) = 2 - 2 * (-3) = 2 + 6 = 8

Итак, мы получили два значения второй производной: s''(5/2) = -3 и s''(-3) = 8.

Если вторая производная отрицательная, то мы имеем дело с максимальной скоростью, а если вторая производная положительная, то это минимальная скорость. Если вторая производная равна нулю, то это особая точка.

Так как s''(5/2) = -3 < 0, то при t1 = 5/2 точка достигает максимальной скорости.

Таким образом, максимальная скорость движения Vmax достигается при t = 5/2.