${x} ^ {lg} ^ {3} + {3} ^ {lgx} = 54$ решить

Ответы

ГретхенМарго 11.01.2024 19:33

Чтобы решить данное уравнение, нам понадобятся знания о свойствах логарифмов. Пошагово решим данный вопрос.

1. Заметим, что в данном уравнении все числа в основаниях логарифмов имеют основанием 10. Мы можем преобразовать это уравнение, чтобы упростить его. Для этого воспользуемся свойством логарифма ${a} ^ {\log_a b} = b$ . Применим это свойство к первому слагаемому:
${x} ^ {\log_{10} 3} = 3$ .
Так как $\log_{10} 3 = \frac{\log 3}{\log 10} = \frac{\log 3}{1} = \log 3$ , упростим это уравнение:
${x} ^ {\log 3} = 3$ .

2. Применим теперь свойство логарифма ${\log_b a} ^ c = a$ ко второму слагаемому:
$3 ^ {\log_{10} x} = 54$ .
Аналогично предыдущему рассуждению, получаем:
$3 ^ {\log x} = 54$ .

3. Теперь, когда мы упростили исходное уравнение, заметим, что основание логарифма и основание степени равны 3, поэтому мы можем сократить оба слагаемых:
${x} ^ {\log 3} + 3 ^ {\log x} = 3 + 54$ .

4. Получаем:
$3x + 3^x = 57$ .

5. Теперь у нас осталось квадратное уравнение, которое можно решить. Для начала попробуем привести его к более удобному виду. Заметим, что число 57 можно представить как сумму 54 и 3:
$3x + 3^x = 3 + 54$ .
$3x + 3^x = 57$ .

6. Мы знаем, что число 3 - это 3^1, поэтому мы можем написать уравнение в виде:
$3^1x + 3^x = 3^0 + 3^3$ .

7. Теперь заметим, что в левой части уравнения у нас есть два слагаемых с одинаковыми основаниями, 3. Мы можем сложить эти слагаемые:
$3^1x + 3^x = 3^0 + 3^3$ .
$3^1x + 3^x = 1 + 27$ .
$3^1x + 3^x = 28$ .

8. Теперь у нас есть уравнение вида $a \cdot x + b \cdot x = c$ , которое можно решить, приведя его к виду $(a+b) \cdot x = c$ :
$(3^1 + 3) \cdot x = 28$ .
$4 \cdot x = 28$ .

9. Делим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{28}{4}$ .

10. Получаем окончательное решение:
$x = 7$ .

Ответ: $x = 7$ .

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика