Теория вероятностей Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти: а) параметр k; б) математическое ожидание; в) дисперсию.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать связь между функцией распределения и плотностью вероятности.

a) Для нахождения параметра k, нужно обратить внимание на области, где функция распределения принимает значения 0 и 1.

На графике функции распределения видно, что k = 4, так как при x < 1 значение функции распределения равно 0, и при x > 5 значение функции распределения равно 1. Поэтому, k = 4.

б) Математическое ожидание случайной величины X, обозначенное как E(X), определяется как интеграл от x до бесконечности от произведения значения x на плотность вероятности f(x):

E(X) = ∫[x=0 to ∞] x * f(x) dx

Функция плотности вероятности определяется как производная от функции распределения:

f(x) = dF(x) / dx

Так как функция распределения имеет разрывы, мы должны разделить интеграл на две части: от 1 до 5 и от 5 до бесконечности.

Для первой части, где 1 ≤ x ≤ 5, мы используем функцию распределения F(x) для нахождения плотности вероятности f(x):

f(x) = dF(x) / dx = 1 / (5 - 1) = 1 / 4

Для второй части, где x > 5, плотность вероятности равна 0.

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание:

E(X) = ∫[x=1 to 5] x * (1/4) dx + ∫[x=5 to ∞] x * 0 dx
= (1/4) * ∫[x=1 to 5] x dx
= (1/4) * [x^2/2] [x=1 to 5]
= (1/4) * (25/2 - 1/2)
= 24/8
= 3

Таким образом, математическое ожидание равно 3.

в) Дисперсия случайной величины X, обозначенная как Var(X), определяется как разница между средним квадратом случайной величины и квадратом среднего значения:

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Для нахождения E(X^2), мы должны проинтегрировать квадрат случайной величины с плотностью вероятности f(x):

E(X^2) = ∫[x=1 to 5] x^2 * (1/4) dx

Выполняя интегрирование, мы получаем:

E(X^2) = (1/4) * ∫[x=1 to 5] x^2 dx
= (1/4) * [x^3/3] [x=1 to 5]
= (1/4) * (125/3 - 1/3)
= 124/12
= 31/3

Теперь мы можем вычислить дисперсию:

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
= 31/3 - (3)^2
= 31/3 - 9
= 4/3

Таким образом, дисперсия равна 4/3.

Надеюсь, что это объяснение помогло вам понять, как найти параметр k, математическое ожидание и дисперсию для данной непрерывной случайной величины. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!