Таблица 50 × 50 заполнена натуральными числами таким образом, что все суммы чисел по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее количество чисел надо изменить, чтобы все эти 100 сумм стали попарно различны?
С доказательством и объяснением

Для решения данной задачи нам потребуется некоторое предварительное знание о свойствах сумм строк и столбцов матрицы.

Предположим, что минимальное количество чисел, которые необходимо изменить, равно k. В этом случае, мы изменяем k чисел по строкам и к чисел по столбцам. После этих изменений, каждая строка будет содержать сумму, отличную на k от своей первоначальной суммы, и каждый столбец будет содержать сумму, отличную на k от своей первоначальной суммы.

Рассмотрим сумму всех чисел в таблице до внесения изменений. Для этого мы будем суммировать все числа из каждой строки или из каждого столбца. Так как суммы строк и столбцов равны, то сумма чисел в каждой строке и столбце будет одинаковой и равной S (S - сумма каждой строки или столбца до внесения изменений).

Так как у нас 50 строк и 50 столбцов, то общая сумма чисел в таблице будет равна 50*S (или S*50).

Теперь рассмотрим сумму всех чисел в таблице после внесения изменений. После изменений каждая строка будет содержать сумму, отличную на k от первоначальной суммы (S), то есть k + S. Аналогично, каждый столбец будет содержать сумму, отличную на k от первоначальной суммы, т.е. k + S.

Таким образом, общая сумма чисел в таблице после внесения изменений будет равна (k+S)*50.

Если мы хотим, чтобы все 100 сумм стали попарно различны, то суммы до и после изменений должны быть различными. Из этого следует, что 50*S не может быть равно (k+S)*50.

Раскрывая скобки, получаем k*50 + 50*S != k*50 + 50*S.

Таким образом, приходим к противоречию. Для получения попарно различных сумм нам необходимо изменить более чем k чисел. Значит, где-то была допущена ошибка в рассуждениях.

Итак, пусть у нас есть таблица размером 50x50. Рассмотрим любую строку в этой таблице. Сумма чисел в этой строке зависит от того, какие числа были изменены. Поскольку суммы чисел по всем строкам и столбцам должны быть различными, то в каждой строке должны быть разные суммы чисел. Мы можем пронумеровать строки от 1 до 50 и сделать так, чтобы сумма чисел в первой строке состояла только из чисел, равных 1, во второй - только из чисел, равных 2, и так далее, в пятой - только из чисел, равных 5, а в 50-ой - только из чисел, равных 50.

Теперь давайте рассмотрим любой столбец в этой таблице. Сумма чисел в этом столбце также будет зависеть от изменений, сделанных нами. Поскольку суммы чисел по всем строкам и столбцам должны быть различными, то в каждом столбце должны быть разные суммы чисел. Кроме того, каждое число в этом столбце должно быть уникальным и присутствовать только в одной строке. Это означает, что первый столбец должен содержать число 1 только один раз, второй столбец должен содержать число 2 только один раз, и так далее, последний столбец должен содержать число 50 только один раз.

Таким образом, мы можем решить задачу, изменяя только k=49 чисел. В первой строке заменяем все числа, кроме 1, на 1. Во второй строке заменяем все числа, кроме 2, на 2, и так далее, в 50-ой строке заменяем все числа, кроме 50, на 50.

Таким образом, минимальное количество чисел, которые необходимо изменить, равно 49.