Ть термі! 1. знайдіть проміжки зростання і спадання функції y = x²-2x+3. 2. знайдіть екстремуми функції y = 2x³-3x². 3. дослідіть функцію y = 3x - x³ та побудуйте графік. 4. знайдіть найбільше та найменше значення функції y = - 9/x - x на відрізку [1; 4]

Доброго дня! Давайте начнем с поиска промежутков возрастания и убывания функции y = x²-2x+3.

1. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам необходимо проанализировать знак производной функции. Возьмем первую производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции:

y' = 2x - 2 = 0

Решим это уравнение:

2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1

Таким образом, критическая точка функции находится при x = 1.

2. Теперь рассмотрим случай, когда x < 1. Возьмем произвольное значение x < 1, например, x = 0. Подставим это значение в производную, чтобы определить знак производной в этом промежутке:

y' = 2(0) - 2 = -2

Таким образом, при x < 1 производная функции отрицательна, что означает, что функция убывает на этом промежутке.

3. Теперь рассмотрим случай, когда x > 1. Возьмем произвольное значение x > 1, например, x = 2. Подставим это значение в производную, чтобы определить знак производной в этом промежутке:

y' = 2(2) - 2 = 2

Таким образом, при x > 1 производная функции положительна, что означает, что функция возрастает на этом промежутке.

Итак, получается, что функция y = x²-2x+3 убывает на промежутке (-∞; 1) и возрастает на промежутке (1; +∞).

Перейдем к нахождению экстремумов функции y = 2x³-3x².

2. Для поиска экстремумов функции нам необходимо проанализировать знак второй производной функции. Возьмем вторую производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки перегиба:

y'' = 12x - 6 = 0

Решим это уравнение:

12x - 6 = 0
12x = 6
x = 1/2

Таким образом, точка перегиба функции находится при x = 1/2.

3. Теперь нужно определить, как изменяется знак второй производной функции в интервалах до и после точки перегиба.

Для этого возьмем произвольное значение x меньше 1/2, например, x = 0. Подставим это значение во вторую производную, чтобы определить его знак:

y'' = 12(0) - 6 = -6

Таким образом, при x < 1/2 вторая производная функции отрицательна, что означает, что функция выпукла вниз на этом промежутке.

Теперь возьмем произвольное значение x больше 1/2, например, x = 1. Подставим это значение во вторую производную, чтобы определить его знак:

y'' = 12(1) - 6 = 6

Таким образом, при x > 1/2 вторая производная функции положительна, что означает, что функция выпукла вверх на этом промежутке.

Итак, получается, что функция y = 2x³-3x² выпукла вниз на промежутке (-∞; 1/2) и выпукла вверх на промежутке (1/2; +∞).

Перейдем к исследованию функции y = 3x - x³ и построим ее график.

3. Для построения графика функции нам необходимо рассмотреть ее поведение при разных значениях x.
а) Корни уравнения y = 3x - x³ равны 0, -1 и 1. Они определяют точки пересечения графика с осью x.
б) Значение функции в точке x = 0 равно:
y(0) = 3(0) - (0)³ = 0
в) Значение функции в точке x = -1 равно:
y(-1) = 3(-1) - (-1)³ = -3 + 1 = -2
г) Значение функции в точке x = 1 равно:
y(1) = 3(1) - (1)³ = 3 - 1 = 2
д) Таким образом, получается, что основные точки, которые нужно отметить на графике, - это (0,0), (-1,-2) и (1,2).

Теперь нарисуем график функции, используя эти точки и знание о том, что функция является параболой, убывает на промежутке (-∞; -1) и возрастает на промежутке (-1; 1).

Теперь перейдем к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции y = -9/x - x на отрезке [1; 4].

4. Для поиска наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [1; 4] нам необходимо проанализировать ее поведение в указанном промежутке.

a) Подставим граничные точки отрезка в функцию:
Для x = 1:
y(1) = -9/1 - 1 = -9 - 1 = -10

Для x = 4:
y(4) = -9/4 - 4 = -2.25 - 4 = -6.25

Таким образом, значения функции на граничных точках отрезка [1; 4] равны -10 и -6.25 соответственно.

b) Теперь необходимо проанализировать, когда функция может принимать большие или меньшие значения внутри отрезка [1; 4]. Будем исследовать знак производной функции:

y' = 9/x² - 1

Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции:

9/x² - 1 = 0
9/x² = 1
9 = x²
x = ±√9
x = ±3

Таким образом, критические точки функции находятся при x = 3 и x = -3.

c) Для дальнейшего анализа знака производной возьмем произвольное значение x между -3 и 3, например, x = 2. Подставим его в производную, чтобы определить ее знак:

y' = 9/(2)² - 1 = 9/4 - 1 = 2.25 - 1 = 1.25

Таким образом, при x между -3 и 3 производная функции положительна, что означает, что функция возрастает в этом промежутке.

d) Теперь сравним значения функции на границах [1; 4] и в критических точках:

Для x = 1:
y(1) = -10

Для x = 3:
y(3) = -9/3 - 3 = -3 - 3 = -6

Значение функции на точке x = 3 меньше, чем на граничной точке x = 1.

Для x = 4:
y(4) = -6.25

Это значение функции также меньше, чем на граничной точке x = 1.

Итак, получается, что наибольшее значение функции на отрезке [1; 4] равно -6.25, а наименьшее значение -10.

Надеюсь, что мой ответ был достаточно подробным и понятным для вас! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!