Т.е., может же теоретически быть такое, что 3k-1=m(m-1)/2 , где k и m разные числа..

Многое вообще непонятно

я по своему решу

запрещенные числа  n(n + 1)/2 n ∈ N = 1, 3, 6, 10, 15, 21

a(1) > 1 ( 1 запрещенное ) d > 0   a(n), d ∈ N

d = 1 не допустимо тк при a(1) < 10 встретится запрещенное число 10

d = 2 не допустимо тк при четном a(1) встретится четное   10 итд, при нечетном a(1) встретится нечетное 15 итд

значит d ≥ 3

оценим сумму S(n) = (2a(1) + d(n - 1))/2 * n = (2a(1) + 9d)/2*10 = 10a(1) + 45d

S(n) = 10*2 + 45*3 = 20 + 135 = 155 при a(1) = 2 d = 3

покажем что при таких значениях это наш ответ

общий член a(k) = a(1) + (k - 1)*d = 2 + 3(k - 1) = 3k - 1

не совпадет с запрещенным числом  n(n + 1)/2 n ∈ N

пусть совпадает 3k - 1 = n(n + 1)/2

6k - 2 = n(n + 1)

6k = n(n + 1) + 2

остатки при делении на 3 - 0, 1, 2

тогда n - можно представить как

1. остаток 0

n = 3m

6k = 3m(3m + 1) + 2

такого не может быть

при делении на 3 слева остаток 0 справа 2

2. остаток 1

n = 3m + 1

6k = (3m+1)(3m + 2) + 2 = 9m² + 6m + 3m + 2 + 2 = 9m² + 9m + 3 + 1

такого не может быть

при делении на 3 слева остаток 0 справа 1

3. остаток 2

n = 3m + 2

6k = (3m+2)(3m + 3) + 2 = 3(3m + 2)(m + 1) + 2

такого не может быть

при делении на 3 слева остаток 0 справа 2

доказали что не может быть запрещенных чисел в последовательности 2, 5, 8, 11, 14

и S = 155