Существуютли такие х у что нок(х у)+нод(х у)+х+у=1999

1999 - простое число.
Понятно, что левая часть уравнения должна делится на НОД(x,y), тогда и левая часть, то есть 1999 должно делится на НОД(x,y). Но 1999 это простое число, его делители это 1 и 1999. Понятно, что 1999≠НОД(x,y),
поскольку НОД(x,y)≤x, НОД(x,y)≤y, а из уравнения следует, что x<1999, и y<1999. Поэтому НОД(x,y)=1. Тогда x и y взаимно простые, тогда НОК(x,y)=x*y. То есть получаем уравнение:
1+x*y+x+y = 1999, причем икс и игрек взаимно простые.
Преобразуем левую часть последнего уравнения
...=x*y+x + y + 1 = x*(y+1)+(y+1) = (y+1)*(x+1) = 1999.
Если x и y - целые, тогда и (y+1) и (x+1) - целые. Как я уже говорил, 1999 - это простое число. Оно единственным образом раскладывается на множители (с точностью до порядка сомножителей) 1999=1999*1.
Тогда y+1 = 1999, и x+1 = 1. (или: y+1=1 и x+1=1999, но этот случай рассматривается так же как первый случай).
y = 1999-1 = 1998,
x = 1-1 = 0.
Но для таких икса и игрека НОК(0, 1998) не существует, поскольку на ноль делить нельзя.
ответ. Не существуют.