Существует три числа,что ни одно из них не целое,а произведение любых двух из них целое

Существуют.

Пошаговое объяснение:

Обозначим искомые три нецелых числа как x, y, z. Пусть известно, что:

xy=c, yz=a, xz=b, где a, b, c - целые ненулевые. Тогда:

(xy)/(yz) = c/a, отсюда x/z=c/a. Так как xz=b, то (x/z)(xz) = (c/a)b, то есть x²=bc/a, x=√(bc/a)

Аналогично можно вычислить, что y=√(ac/b), z=√(ab/c).

Действительно,

xy = √(bc/a) * √(ac/b) = √((bc/a)(ac/b)) = √c² = c,

yz = √(ac/b) * √(ab/c) = √((ac/b)(ab/c)) = √a² = a,

xz = √(bc/a) * √(ab/c) = √((bc/a)(ab/c)) = √b² = b.

Тогда можно взять целые a=1, b=3, c=5 и получить иррациональные x, y, z:

x = √15

y = √(5/3)

z = √(3/5)